Fiche de révision : Échantillonnage et approximations normales

📋 Plan du Cours

1. Modèle de Bernoulli et échantillonnage
2. Moments des variables binomiales
3. Résolution et erreurs fréquentes
4. Théorème central limite
5. Centrage-réduction et loi normale
6. Différence de deux proportions
7. Dimensionnement par quantile normal
8. Calcul de capacité sécuritaire

📖 1. Modèle de Bernoulli et échantillonnage

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable de Bernoulli : vaut 1 en cas de succès, avec probabilité p, et 0 en cas d’échec, avec probabilité 1-p.

★ À maîtriser

📌 L’indépendance impose que le choix d’un individu n’influence pas celui d’un autre et est assurée par un tirage avec remise ou, sans remise, par une population au moins 10 fois plus grande que l’échantillon.

Compléments

📐 Formule — La variable individuelle suit $X_i \sim \mathcal{B}(p)$.

💡 Astuce mémo

Individu → somme des succès → fréquence observée

📖 2. Moments des variables binomiales

🔑 Notions clés & Définitions

• Fréquence empirique : est la proportion de succès observée dans l’échantillon, définie par $F_n=\frac{S_n}{n}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le nombre total de succès est $S_n=\sum_{i=1}^{n}X_i\sim\mathcal{B}(n,p)$.

📐 Formule — L’espérance et la variance de S_n sont $E(S_n)=np$ et $V(S_n)=np(1-p)$.

📐 Formule — La fréquence empirique vérifie $E(F_n)=p$ et $V(F_n)=\frac{p(1-p)}{n}$.

💡 Astuce mémo

S_n compte les succès, F_n mesure leur proportion

📖 3. Résolution et erreurs fréquentes

★ À maîtriser

• Pour résoudre un problème, il faut définir X_i, identifier si l’on cherche S_n ou F_n, puis appliquer les formules correspondantes d’espérance et de variance.

Compléments

📐 Formule — La variance de la fréquence se calcule par $V(F_n)=V\left(\frac{1}{n}S_n\right)=\frac{1}{n^2}V(S_n)=\frac{p(1-p)}{n}$.

💡 Astuce mémo

Le facteur 1/n devient 1/n² dans la variance → dispersion réduite

📖 4. Théorème central limite

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème central limite : permet d’approximer par une loi normale la somme ou la moyenne de variables indépendantes et de même loi lorsque n devient grand.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La somme vérifie approximativement $S_n\sim\mathcal{N}\left(np,np(1-p)\right)$.

📌 L’approximation normale de la loi binomiale est valide si $n\ge30$, $np\ge5$ et $n(1-p)\ge5$.

💡 Astuce mémo

n, np, n(1-p) : les trois vérifications avant l’approximation

📖 5. Centrage-réduction et loi normale

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une variable normale X de moyenne μ et de variance σ², la variable centrée réduite est $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathcal{N}(0{,}1)$.

Compléments

📐 Formule — Pour la fonction de répartition Φ de la loi normale centrée réduite, $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$ et $P(a\le Z\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)$.

• Pour S_420 de loi binomiale de paramètres n=420 et p=0,6, la moyenne vaut 252, la variance vaut 100,8 et l’écart-type vaut environ 10,0399.

💡 Astuce mémo

La variance mesure l’échelle au carré, l’écart-type mesure l’échelle

📖 6. Différence de deux proportions

🔑 Notions clés & Définitions

• Différence de proportions : compare deux fréquences empiriques indépendantes selon $D=F_1-F_2$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La différence de proportions vérifie $E(D)=p_1-p_2$ et $V(D)=\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}$.

📌 L’approximation normale de D exige l’indépendance interne de chaque échantillon, l’indépendance entre les deux groupes et la vérification des trois conditions du TCL dans chaque échantillon.

Compléments

📐 Formule — La variable centrée réduite de D est $Z=\frac{(F_1-F_2)-(p_1-p_2)}{\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}}\sim\mathcal{N}(0{,}1)$.

💡 Astuce mémo

F_1 - F_2 pour les moyennes, addition des variances pour l’incertitude

📖 7. Dimensionnement par quantile normal

🔑 Notions clés & Définitions

• Dimensionnement : consiste à déterminer la capacité k à partir d’une probabilité cible de satisfaction, au lieu de calculer une probabilité à partir d’une capacité donnée.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La contrainte de satisfaction s’écrit $P(S_n\le k)\ge1-\alpha$, avec $\Phi(z_\alpha)=1-\alpha$.

📐 Formule — La capacité minimale vérifie $k\ge np+z_\alpha\sqrt{np(1-p)}$.

💡 Astuce mémo

Seuil → quantile → inégalité → capacité

📖 8. Calcul de capacité sécuritaire

★ À maîtriser

• 🔄 La résolution suit six étapes:
  1. Traduire le seuil en inégalité
  2. Centrer-réduire
  3. Remplacer par Φ
  4. Identifier le quantile
  5. Isoler k
  6. Arrondir à l’entier supérieur

Compléments

• Pour une probabilité cible de 0,975, le quantile normal utilisé est z_α=1,96 ; pour 0,95, il vaut 1,645, et pour 0,99, il vaut 2,33.

• Avec n=420, p=0,6 et une sécurité cible de 97,5 %, la capacité minimale calculée est k≥271,6782, donc la capacité retenue est de 272 places.

💡 Astuce mémo

Une contrainte de probabilité impose une capacité minimale arrondie au plafond

📊 Tableaux de synthèse

Somme et fréquence empirique

Quantiles de sécurité