Fiche de révision : Électromagnétisme et machine synchrone

📋 Plan du Cours

1. Lois et grandeurs électromagnétiques
2. Circuit magnétique et couple
3. Fonctionnement moteur et alternateur
4. Création du champ tournant
5. Démonstration du théorème de Ferraris
6. Géométrie et bobinage de la machine

📖 1. Lois et grandeurs électromagnétiques

★ À maîtriser

📐 Formule - L’induction magnétique et l’excitation magnétique sont liées par $B = \mu_0 H$.

📐 Formule - La loi d’Ampère s’écrit $\oint \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l} = nI$.

📐 Formule - Le flux magnétique est $\Phi = \iint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}$ et s’exprime en weber (Wb).

Compléments

📐 Formule - La loi de Faraday-Lenz donne $e = -\frac{d\Phi}{dt}$ et la tension aux bornes d’une inductance vérifie $u = L\frac{di}{dt}$.

📐 Formule - L’inductance vaut $L = \frac{n\Phi}{I}$.

📐 Formule - La réluctance d’un circuit magnétique est $\mathcal{R} = \frac{\ell}{\mu S}$ et s’exprime en A/Wb ou en H⁻¹.

📖 2. Circuit magnétique et couple

★ À maîtriser

• L’équivalent de Hopkinson représente le circuit magnétique par une force magnétomotrice $nI$, un flux $\Phi$ et des réluctances.

📐 Formule - L’inductance variable rotor-stator dépend de l’angle selon $L(\theta) = \frac{1}{2}(L_M + L_m) + \frac{1}{2}(L_M - L_m)\cos(2\theta)$.

📐 Formule - Le couple électromagnétique vérifie $C_e = -\left.\frac{\partial W}{\partial \theta}\right|_{\Phi=\mathrm{cte}} = +\left.\frac{\partial W}{\partial \theta}\right|_{i=\mathrm{cte}}$.

Compléments

📐 Formule - L’énergie magnétique stockée dans une inductance vaut $W = \frac{1}{2}Li_s^2$.

📌 À l’équilibre, le couple est nul ; l’équilibre est stable si $\frac{dC_e}{d\theta}<0$ et instable si $\frac{dC_e}{d\theta}>0$.

📖 3. Fonctionnement moteur et alternateur

★ À maîtriser

• En mode moteur, le stator alimenté par un réseau polyphasé produit un champ tournant à la vitesse de synchronisme, auquel le rotor s’accroche sans glissement.

• En régime moteur synchrone, la vitesse mécanique du rotor est égale à la vitesse de synchronisme : $\Omega_m = \Omega_s$.

• En mode alternateur, une source mécanique entraîne le rotor, dont le champ en rotation fait varier le flux dans les enroulements statoriques et y induit une force électromotrice.

Compléments

📌 En mode moteur, un couple résistant crée un décalage angulaire δ, et la machine décroche si δ > 90°.

💡 Astuce mémo

Moteur : le réseau entraîne le champ ; alternateur : l’arbre entraîne le rotor.

📖 4. Création du champ tournant

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un stator alimenté en courants polyphasés, la vitesse du champ tournant est $\Omega_s = \frac{\omega}{p} = \frac{2\pi f}{p}$.

Compléments

📐 Formule - La vitesse de synchronisme exprimée en tours par minute est $N_s = \frac{60f}{p}$.

• Les courants polyphasés alimentent des enroulements statoriques déphasés dans l’espace et dans le temps afin de créer un champ tournant.

• Un champ rotorique matériel, créé par des aimants permanents ou un rotor bobiné alimenté en courant continu, tourne à la vitesse mécanique du rotor : $\Omega_{champ}=\Omega_m$.

💡 Astuce mémo

Stator polyphasé : champ créé électriquement ; rotor : champ entraîné mécaniquement.

📖 5. Démonstration du théorème de Ferraris

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des champs statoriques triphasés donne $B_S(\theta,t)=\frac{3}{2}k_S I\cos(p\theta-\omega t)$, avec $k_S=\frac{n\mu_0}{g}$.

📐 Formule - La condition $p\theta-\omega t=\mathrm{cte}$ conduit à la vitesse du champ tournant $\Omega_s=\frac{d\theta}{dt}=\frac{\omega}{p}$.

Compléments

• Dans une machine triphasée à p paires de pôles, les courants sont déphasés de $\frac{2\pi}{3}$ et s’écrivent $i_1(t)=I\sqrt{2}\cos(\omega t)$, $i_2(t)=I\sqrt{2}\cos(\omega t-\frac{2\pi}{3})$ et $i_3(t)=I\sqrt{2}\cos(\omega t-\frac{4\pi}{3})$.

• La démonstration du champ résultant utilise l’identité $\cos(a)\cos(b)=\frac{1}{2}[\cos(a-b)+\cos(a+b)]$.

📖 6. Géométrie et bobinage de la machine

★ À maîtriser

📌 Un rotor à pôles saillants présente un entrefer variable et une inductance variant selon une loi en cosinus de l’angle, tandis qu’un rotor lisse est cylindrique et possède un entrefer constant, adapté aux hautes vitesses.

📐 Formule - Le nombre d’encoches par pôle et par phase est $q=\frac{N}{2pm}=\frac{N}{6p}$ pour un stator triphasé, où N est le nombre total d’encoches, p le nombre de paires de pôles et m=3 le nombre de phases.

Compléments

• Le stator d’une machine synchrone peut être triphasé, diphasé ou monophasé ; le stator triphasé peut être couplé en étoile (Y) ou en triangle (Δ).

📌 L’alimentation continue du rotor se fait soit par bagues et balais, soit sans balais par une excitatrice et un pont de diodes tournant.

📐 Formule - Le nombre d’enroulements par phase est $N_{phase}=\frac{N}{3}$.