Fiche de révision : Éléments de géométrie

📋 Plan du Cours

1. Propriétés des quadrilatères
2. Théorèmes du triangle
3. Périmètres et aires planes
4. Volumes des solides
5. Repères et coordonnées
6. Milieux et distances dans le plan

📖 1. Propriétés des quadrilatères

📝 Points essentiels

• Un quadrilatère est un parallélogramme si ses diagonales se coupent en leur milieu, si ses deux paires de côtés opposés sont parallèles ou de même longueur, ou si une paire de côtés opposés est à la fois parallèle et de même longueur.

• Un parallélogramme est un rectangle s’il a un angle droit, et un quadrilatère est un rectangle si ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur ou s’il possède au moins trois angles droits.

• Un parallélogramme est un losange s’il a deux côtés consécutifs de même longueur, et un quadrilatère est un losange si ses diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu ou si ses quatre côtés sont de même longueur.

• Un rectangle est un carré s’il a deux côtés consécutifs de même longueur, et un losange est un carré s’il possède un angle droit.

💡 Astuce mémo

Le rectangle privilégie l’angle droit, le losange les côtés égaux, et le carré réunit les deux.

📖 2. Théorèmes du triangle

📝 Points essentiels

📌 Le théorème de Pythagore permet de calculer une longueur dans un triangle rectangle connaissant deux côtés, et de démontrer qu’un triangle est rectangle lorsque les longueurs de ses trois côtés sont connues et vérifient l’égalité de Pythagore.

📐 Formule - Dans un triangle ABC rectangle en A, le théorème de Pythagore donne $AB^2 + AC^2 = BC^2$.

📌 La trigonométrie permet de calculer un angle dans un triangle rectangle si deux côtés sont connus, ou une longueur si un côté et un angle sont connus.

📐 Formule - Dans un triangle ABC rectangle en A, $\cos(ABC)=\frac{BA}{BC}$, $\sin(ABC)=\frac{AC}{BC}$ et $\tan(ABC)=\frac{AC}{BA}$.

📌 Le théorème de Thalès permet de calculer une longueur lorsque deux droites sont parallèles et qu’au moins trois longueurs sont connues, ou de démontrer que deux droites sont parallèles lorsque quatre longueurs au moins sont connues.

📐 Formule - Lorsque (MN) est parallèle à (BC), le théorème de Thalès donne $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

📖 3. Périmètres et aires planes

🔑 Notions clés & Définitions

• Périmètre : Longueur du contour d’une figure.
• Aire : Mesure de la surface d’une figure.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le périmètre d’un carré de côté c est $P=4c$, celui d’un rectangle de côtés ℓ et ℓ′ est $P=2\ell+2\ell'$, et celui d’un cercle de rayon r est $P=2\pi r$.

📐 Formule - L’aire d’un carré de côté c est $A=c^2$, celle d’un rectangle de côtés ℓ et ℓ′ est $A=\ell\times\ell'$, celle d’un triangle de base b et de hauteur h est $A=\frac{1}{2}bh$, et celle d’un disque de rayon r est $A=\pi r^2$.

📖 4. Volumes des solides

🔑 Notions clés & Définitions

• Volume : Mesure de l’espace occupé par un solide.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le volume d’un prisme ou d’un cylindre de révolution est $V=B\times h$, où B est l’aire de la base et h la hauteur.

📐 Formule - Le volume d’une pyramide ou d’un cône de révolution est $V=\frac{1}{3}\times B\times h$, où B est l’aire de la base et h la hauteur.

📐 Formule - Le volume d’une boule de rayon r est $V=\frac{4}{3}\pi r^3$.

Compléments

📌 Les solides droits présentés sont le prisme et le cylindre de révolution ; les solides pointus sont la pyramide et le cône de révolution, auxquels s’ajoute la boule.

💡 Astuce mémo

Les solides droits ont le facteur B × h ; les solides pointus, le facteur ⅓ × B × h.

📖 5. Repères et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé : Un repère est orthonormé lorsque les points O, I et J forment un triangle isocèle rectangle en O.
• Coordonnées : Dans un repère du plan, chaque point M est repéré par un unique couple de nombres réels appelé coordonnées de M.

📖 6. Milieux et distances dans le plan

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, le milieu M du segment [AB], avec A(xₐ ; yₐ) et B(xᵦ ; yᵦ), a pour coordonnées $x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$ et $y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, la distance entre A(xₐ ; yₐ) et B(xᵦ ; yᵦ) est $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

Compléments

• Pour A(3 ; 2) et B(−5 ; 7), le milieu du segment [AB] a pour coordonnées (−1 ; 4,5).

• Pour A(−2 ; 7) et B(0 ; 3), la distance AB vaut $2\sqrt{5}$.