Fiche de révision : Ensemble des nombres réels

📋 Plan du Cours

1. Coupures de Dedekind
2. Ordre et opérations sur les coupures
3. Rationnels, irrationnels et densité
4. Bornes et opérations sur les ensembles
5. Inégalités et valeur absolue
6. Propriété d’Archimède et densité
7. Partie entière et suites d’ensembles

📖 1. Coupures de Dedekind

🔑 Notions clés & Définitions

• Coupure dans ℚ : Une coupure dans ℚ est un couple (A, B) de sous-ensembles non vides de ℚ tels que A ∪ B = ℚ et que tout élément de A est strictement inférieur à tout élément de B.

★ À maîtriser

📌 Si a ∈ A dans une coupure (A, B) et q ∈ ℚ vérifie q ≤ a, alors q ∈ A.

Compléments

• Dans toute coupure (A, B) de ℚ, les ensembles A et B sont disjoints.

• À partir d’une coupure (A, B), les ensembles C = {−c : c ∈ B} et D = {−d : d ∈ A} définissent une coupure de ℚ.

📖 2. Ordre et opérations sur les coupures

★ À maîtriser

• Pour une coupure (A(x), B(x)) d’un réel x > 0, les ensembles C = ℚ− ∪ {1/b : b ∈ B(x)} et D = {1/a : a ∈ A(x) ∩ ℚ+*} définissent la coupure de l’inverse de x.

📌 Si x est irrationnel et A(x) n’a pas de plus grand élément, alors tout a ∈ A(x) et tout b ∈ B(x) vérifient a < x < b.

Compléments

• La définition de l’ordre sur ℝ par inclusion des ensembles A(x) permet d’établir que −1 < 1/3.

📌 Si a ∈ A(x), alors A(a) ⊂ A(x), et si b ∈ B(x), alors B(b) ⊂ B(x).

📌 A(x) ⊊ A(y) si et seulement si B(x) ∩ A(y) est non vide.

📖 3. Rationnels, irrationnels et densité

★ À maîtriser

📌 Si r ∈ ℚ et x ∈ ℝ \ ℚ, alors r + x est irrationnel.

• √2 est irrationnel.

Compléments

• Pour r < r′ rationnels, le nombre y = r + (√2/2)(r′ − r) appartient à l’intervalle ouvert ]r, r′[ et est irrationnel.

• L’ensemble {x³ : x ∈ ℚ} est dense dans ℝ.

📖 4. Bornes et opérations sur les ensembles

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux parties non vides et bornées A et B de ℝ, $\sup(A+B)=\sup A+\sup B$ et $\inf(A+B)=\inf A+\inf B$.

📌 Un réel s est la borne supérieure d’un ensemble A majoré si et seulement si s majore A et que, pour tout ε > 0, il existe a ∈ A tel que s − ε < a.

Compléments

📐 Formule - Pour toute partie non vide et bornée A de ℝ, $\sup(-A)=-\inf A$.

📌 Si A et B sont minorées et A ∩ B ≠ ∅, alors A ∩ B est minorée et max{inf A, inf B} ≤ inf(A ∩ B).

• Pour A = {x ∈ ℚ+ : x < √2}, la borne supérieure existe dans ℝ et n’appartient pas à A.

📖 5. Inégalités et valeur absolue

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous x, y ∈ ℝ, $x^2+y^2\ge 2xy$.

📌 Si a ≠ 0 et |x − a| < |a|, alors x est non nul et a et x ont le même signe.

Compléments

📐 Formule - Pour x, y, z ≥ 0, $(x+y)(y+z)(z+x)\ge 8xyz$.

📖 6. Propriété d’Archimède et densité

★ À maîtriser

• Le théorème d’Archimède est mobilisé pour montrer que ℕ n’est pas majoré.

📌 Entre deux réels a < b, il existe un rationnel r tel que a < r < b.

Compléments

• L’ensemble {1/(n+2) : n ∈ ℕ} a pour supremum 1/2, qui est aussi son maximum.

📌 Si b − a > 1, il existe un entier m tel que a < m < b.

📖 7. Partie entière et suites d’ensembles

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous x, y ∈ ℝ, $\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor\le\lfloor x+y\rfloor\le\lfloor x\rfloor+\lfloor y\rfloor+1$.

• Pour tout entier n, ⌊n⌋ + ⌊−n⌋ = 0, tandis que pour tout réel x non entier, ⌊x⌋ + ⌊−x⌋ = −1.

Compléments

📐 Formule - Pour tout entier naturel n, $\left\lfloor(\sqrt n+\sqrt{n+1})^2\right\rfloor=4n+1$.

• Pour n ≥ 1, si A_n = (1 − 1/n, 2 + 1/n], alors leur réunion est ]0, 3] et leur intersection est [1, 2].