QCM : Ensemble des nombres réels (11 questions)

Question 1

1. Quelle condition caractérise une coupure de Dedekind dans ℚ ?

Deux sous-ensembles non vides dont la réunion est ℚ et dont chaque élément du premier est supérieur à chaque élément du second

Deux sous-ensembles non vides dont l’intersection est ℚ et dont chaque élément du premier est inférieur à chaque élément du second

Deux sous-ensembles non vides dont la réunion est ℚ et dont chaque élément du premier est inférieur à chaque élément du second

Deux sous-ensembles dont la réunion est ℚ et dont chaque élément du premier est inférieur à chaque élément du second, même si l’un est vide

Explication

Une coupure est formée de deux parties non vides qui couvrent ℚ, avec tous les éléments de la première strictement inférieurs à ceux de la seconde. L’intersection ne remplace pas la réunion, l’ordre ne s’inverse pas et la non-vacuité est requise.

Answer

Deux sous-ensembles non vides dont la réunion est ℚ et dont chaque élément du premier est inférieur à chaque élément du second

Question 2

2. Dans une coupure (A, B), on sait que $\frac{2}{3} \in A$ . Que peut-on conclure pour le rationnel $-\frac{5}{4}$ ?

Il appartient à B, car il est inférieur à

\frac{2}{3}

Son appartenance à A ou à B ne peut pas être déduite

Il appartient à A, car il est inférieur ou égal à

\frac{2}{3}

Il appartient à A seulement s’il est strictement inférieur à

\frac{2}{3}

Explication

La partie A contient tout rationnel inférieur ou égal à chacun de ses éléments : ici, $-\frac{5}{4} \leq \frac{2}{3}$ . Le placer dans B inverse le sens de la règle, et celle-ci inclut aussi le cas d’égalité.

Answer

Il appartient à A, car il est inférieur ou égal à $$\frac{2}{3}$$

Question 3

3. Pour une coupure représentant un réel $x>0$ , quelle construction donne la coupure représentant son inverse ?

C=\mathbb{Q}_{-}\cup\{1/a:a\in A(x)\cap\mathbb{Q}_{+}^{*}\},\quad D=\{1/b:b\in B(x)\}

C=\mathbb{Q}_{-}\cup B(x),\quad D=\{1/a:a\in A(x)\cap\mathbb{Q}_{+}^{*}\}

C=\mathbb{Q}_{-}\cup\{1/b:b\in B(x)\},\quad D=\{1/a:a\in A(x)\cap\mathbb{Q}_{+}^{*}\}

C=\{1/b:b\in B(x)\},\quad D=\{1/a:a\in A(x)\cap\mathbb{Q}_{+}^{*}\}

Explication

Pour obtenir la coupure de l’inverse d’un réel positif, on prend les inverses des éléments de B(x) dans C, en y joignant les rationnels négatifs, et les inverses des éléments strictement positifs de A(x) dans D. Les autres constructions échangent les ensembles, omettent l’inversion ou oublient les rationnels négatifs.

Answer

$$C=\mathbb{Q}_{-}\cup\{1/b:b\in B(x)\},\quad D=\{1/a:a\in A(x)\cap\mathbb{Q}_{+}^{*}\}$$

Question 4

4. Un réel irrationnel $x$ est représenté par une coupure dont A(x) n’a pas de plus grand élément. Si $a\in A(x)$ et $b\in B(x)$ , quelle relation est vérifiée ?

a<x<b

a\leq x<b

a<x\leq b

b<x<a

Explication

Pour une coupure d’un irrationnel sans plus grand élément dans A(x), chaque élément de A(x) est strictement inférieur à x et chaque élément de B(x) lui est strictement supérieur. Les versions avec égalité effacent la stricte séparation, et la dernière inverse l’ordre.

Answer

Pour tout rationnel $$r$$ et tout irrationnel $$x$$, $$r+x$$ est irrationnel.

Answer

$$\sup(A+B)=\sup A+\sup B$$

Answer

Elle garantit que la borne est un majorant et qu’on peut trouver des éléments de l’ensemble arbitrairement proches d’elle par-dessous.

Answer

Entre deux réels distincts, un rationnel existe toujours, tandis que l’existence d’un entier est garantie lorsque leur différence dépasse 1.

Answer

Leur somme vaut $$-1$$, car $$x$$ et $$-x$$ se trouvent de part et d’autre d’un entier.

Answer

Il appartient à $$B$$, puisque $$A$$ et $$B$$ partitionnent $$\mathbb{Q}$$.

Answer

Par l’inclusion de leurs ensembles inférieurs : $$x\le y$$ si $$A(x)\subseteq A(y)$$.

Question 5

5. Que signifie que la somme d’un rationnel et d’un irrationnel est irrationnelle ?

Pour tout irrationnel

r

et tout rationnel

x

,

r+x

est irrationnel.

Pour tout rationnel

r

et tout irrationnel

x

,

r+x

est irrationnel.

Pour tout rationnel

r

et tout irrationnel

x

,

r+x

est rationnel.

Pour tout rationnel

r

et tout irrationnel

x

,

rx

est irrationnel.

Explication

Ajouter un rationnel à un irrationnel donne un nombre irrationnel. En revanche, le produit d’un rationnel et d’un irrationnel peut être rationnel, par exemple si le rationnel est nul.

Question 6

6. Pour deux ensembles non vides et bornés $A$ et $B$ de $\mathbb{R}$ , quelle formule donne la borne supérieure de leur somme d’ensembles $A+B$ ?

\sup(A+B)=\sup A+\sup B

\sup(A+B)=\max(\sup A,\sup B)

\sup(A+B)=\sup A-\sup B

\sup(A+B)=\inf A+\sup B

Explication

La borne supérieure de la somme est la somme des bornes supérieures des deux ensembles. La somme de l’infimum de $A$ et du supremum de $B$ ne donne pas, en général, la borne supérieure de $A+B$ .

Question 7

7. Quel est le rôle de la condition caractérisant la borne supérieure d’un ensemble majoré ?

Elle garantit que la borne est un majorant et qu’on peut trouver des éléments de l’ensemble arbitrairement proches d’elle par-dessous.

Elle garantit que la borne est le plus petit élément de l’ensemble et que tous les autres éléments la dépassent.

Elle garantit que tout nombre inférieur à la borne est un majorant de l’ensemble et qu’il existe un maximum.

Elle garantit que la borne appartient à l’ensemble et que chaque élément est strictement inférieur à elle.

Explication

Cette caractérisation exprime à la fois que le réel considéré majore l’ensemble et que des éléments de l’ensemble s’approchent de lui par-dessous, à toute précision près. La borne supérieure n’a pas besoin d’appartenir à l’ensemble, contrairement à ce que suppose la réponse qui exige qu’elle en soit un élément.

Question 8

8. En quoi la densité des rationnels entre deux réels diffère-t-elle de l’existence d’un entier entre ces mêmes réels ?

Un rationnel existe lorsque la différence dépasse 1, tandis qu’un entier existe entre deux réels distincts quelconques.

Entre deux réels distincts, un rationnel existe toujours, tandis que l’existence d’un entier est garantie lorsque leur différence dépasse 1.

Entre deux réels distincts, un entier existe toujours, tandis qu’un rationnel existe lorsque leur différence dépasse 1.

Les deux propriétés exigent que la différence entre les réels dépasse 1, mais seule celle des entiers garantit un point strictement intérieur.

Explication

La densité des rationnels assure qu’un rationnel se trouve strictement entre deux réels distincts, quelle que soit la taille de l’intervalle. Pour les entiers, la condition donnée est plus forte : une longueur supérieure à 1 garantit un entier strictement compris entre les bornes.

Question 9

9. Pour un réel non entier $x$ , quelle conséquence entraîne le fait que sa partie entière et celle de son opposé ne s’additionnent pas à zéro ?

Leur somme vaut

0

, comme lorsque

x

est un entier.

Leur somme vaut

1

, car l’arrondi vers le bas augmente pour l’opposé.

Leur somme dépend de la partie fractionnaire de

x

et peut varier entre

-1

et

1

.

Leur somme vaut

-1

, car

x

et

-x

se trouvent de part et d’autre d’un entier.

Explication

Pour un réel non entier, les parties fractionnaires de $x$ et de $-x$ entraînent que leurs parties entières ont pour somme $-1$ . La somme n’est donc pas nulle, contrairement au cas où $x$ est entier.

Question 10

10. Dans une coupure de Dedekind $(A,B)$ , on sait que $\frac{3}{5}\notin A$ . Que peut-on en déduire sur $\frac{3}{5}$ ?

Il est exclu de la coupure, car la séparation laisse une frontière vide.

Il appartient à

B

, puisque

A

et

B

partitionnent

\mathbb{Q}

.

Il appartient à

A

, car chaque rationnel appartient aux deux ensembles.

Il peut appartenir à l’un ou l’autre ensemble, selon le choix de la coupure.

Explication

Les ensembles d’une coupure sont disjoints et leur réunion est $\mathbb{Q}$ , donc tout rationnel absent de $A$ appartient à $B$ . La propriété de fermeture vers le bas concerne les éléments déjà dans $A$ et ne permet pas de conclure que ce rationnel reste dans $A$ .

Question 11

11. Comment l’ordre entre deux réels représentés par des coupures est-il défini à l’aide de leurs ensembles inférieurs ?

Par la disjonction de leurs ensembles inférieurs :

x\le y

si

A(x)\cap A(y)=\varnothing

.

Par l’inclusion de leurs ensembles supérieurs :

x\le y

si

B(y)\subseteq B(x)

.

Par l’égalité de leurs ensembles inférieurs :

x\le y

si

A(x)=A(y)

.

Par l’inclusion de leurs ensembles inférieurs :

x\le y

si

A(x)\subseteq A(y)

.

Explication

L’ordre sur les réels représentés par des coupures se définit par l’inclusion des ensembles inférieurs. L’inclusion inverse des ensembles supérieurs exprime une propriété liée à cet ordre, mais ce n’est pas la définition donnée.

QCM : Ensemble des nombres réels (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une coupure de Dedekind dans ℚ ?

2. Dans une coupure (A, B), on sait que $\frac{2}{3} \in A$ . Que peut-on conclure pour le rationnel $-\frac{5}{4}$ ?

3. Pour une coupure représentant un réel $x>0$ , quelle construction donne la coupure représentant son inverse ?

4. Un réel irrationnel $x$ est représenté par une coupure dont A(x) n’a pas de plus grand élément. Si $a\in A(x)$ et $b\in B(x)$ , quelle relation est vérifiée ?

5. Que signifie que la somme d’un rationnel et d’un irrationnel est irrationnelle ?

6. Pour deux ensembles non vides et bornés $A$ et $B$ de $\mathbb{R}$ , quelle formule donne la borne supérieure de leur somme d’ensembles $A+B$ ?

7. Quel est le rôle de la condition caractérisant la borne supérieure d’un ensemble majoré ?

8. En quoi la densité des rationnels entre deux réels diffère-t-elle de l’existence d’un entier entre ces mêmes réels ?

9. Pour un réel non entier $x$ , quelle conséquence entraîne le fait que sa partie entière et celle de son opposé ne s’additionnent pas à zéro ?

10. Dans une coupure de Dedekind $(A,B)$ , on sait que $\frac{3}{5}\notin A$ . Que peut-on en déduire sur $\frac{3}{5}$ ?

11. Comment l’ordre entre deux réels représentés par des coupures est-il défini à l’aide de leurs ensembles inférieurs ?

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QCM : Ensemble des nombres réels (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise une coupure de Dedekind dans ℚ ?

2. Dans une coupure (A, B), on sait que 23∈A\frac{2}{3} \in A32​∈A. Que peut-on conclure pour le rationnel −54-\frac{5}{4}−45​ ?

3. Pour une coupure représentant un réel x>0x>0x>0, quelle construction donne la coupure représentant son inverse ?

4. Un réel irrationnel xxx est représenté par une coupure dont A(x) n’a pas de plus grand élément. Si a∈A(x)a\in A(x)a∈A(x) et b∈B(x)b\in B(x)b∈B(x), quelle relation est vérifiée ?

5. Que signifie que la somme d’un rationnel et d’un irrationnel est irrationnelle ?

6. Pour deux ensembles non vides et bornés AAA et BBB de R\mathbb{R}R, quelle formule donne la borne supérieure de leur somme d’ensembles A+BA+BA+B ?

7. Quel est le rôle de la condition caractérisant la borne supérieure d’un ensemble majoré ?

8. En quoi la densité des rationnels entre deux réels diffère-t-elle de l’existence d’un entier entre ces mêmes réels ?

9. Pour un réel non entier xxx, quelle conséquence entraîne le fait que sa partie entière et celle de son opposé ne s’additionnent pas à zéro ?

10. Dans une coupure de Dedekind (A,B)(A,B)(A,B), on sait que 35∉A\frac{3}{5}\notin A53​∈/A. Que peut-on en déduire sur 35\frac{3}{5}53​ ?

11. Comment l’ordre entre deux réels représentés par des coupures est-il défini à l’aide de leurs ensembles inférieurs ?

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2. Dans une coupure (A, B), on sait que $\frac{2}{3} \in A$ . Que peut-on conclure pour le rationnel $-\frac{5}{4}$ ?

3. Pour une coupure représentant un réel $x>0$ , quelle construction donne la coupure représentant son inverse ?

4. Un réel irrationnel $x$ est représenté par une coupure dont A(x) n’a pas de plus grand élément. Si $a\in A(x)$ et $b\in B(x)$ , quelle relation est vérifiée ?

6. Pour deux ensembles non vides et bornés $A$ et $B$ de $\mathbb{R}$ , quelle formule donne la borne supérieure de leur somme d’ensembles $A+B$ ?

9. Pour un réel non entier $x$ , quelle conséquence entraîne le fait que sa partie entière et celle de son opposé ne s’additionnent pas à zéro ?

10. Dans une coupure de Dedekind $(A,B)$ , on sait que $\frac{3}{5}\notin A$ . Que peut-on en déduire sur $\frac{3}{5}$ ?