Ensemble des nombres réels

📋 Plan du Cours

1. Coupures de Dedekind
2. Ordre et opérations sur les coupures
3. Rationnels, irrationnels et densité
4. Bornes et opérations sur les ensembles
5. Inégalités et valeur absolue
6. Propriété d’Archimède et densité
7. Partie entière et suites d’ensembles

📖 1. Coupures de Dedekind

🔑 Notions clés & Définitions

• Coupure dans ℚ : Une coupure dans ℚ est un couple (A, B) de sous-ensembles non vides de ℚ tels que A ∪ B = ℚ et que tout élément de A est strictement inférieur à tout élément de B.

★ À maîtriser

📌 Si a ∈ A dans une coupure (A, B) et q ∈ ℚ vérifie q ≤ a, alors q ∈ A.

Compléments

• Dans toute coupure (A, B) de ℚ, les ensembles A et B sont disjoints.

• À partir d’une coupure (A, B), les ensembles C = {−c : c ∈ B} et D = {−d : d ∈ A} définissent une coupure de ℚ.

📖 2. Ordre et opérations sur les coupures

★ À maîtriser

• Pour une coupure (A(x), B(x)) d’un réel x > 0, les ensembles C = ℚ− ∪ {1/b : b ∈ B(x)} et D = {1/a : a ∈ A(x) ∩ ℚ+*} définissent la coupure de l’inverse de x.

📌 Si x est irrationnel et A(x) n’a pas de plus grand élément, alors tout a ∈ A(x) et tout b ∈ B(x) vérifient a < x < b.

Compléments