Fiche de révision : Étude du circuit RC

📋 Plan du Cours

1. Dipôle RC et grandeurs électriques
2. Équations différentielles du circuit
3. Solutions en charge et décharge
4. Constante de temps et courbes
5. Évolution et régime permanent

📖 1. Dipôle RC et grandeurs électriques

★ À maîtriser

📐 Formule - La tension aux bornes de la résistance vérifie $U_R = Ri$, et l'intensité est la dérivée de la charge par rapport au temps, $i = \frac{dQ}{dt}$.

• Dans le circuit RC étudié, la résistance R et le condensateur C sont montés en série avec un générateur de tension E.

Compléments

• La résistance R s'exprime en ohms (Ω), la capacité C en farads (F), l'intensité i en ampères (A) et les tensions E, U_R et U_C en volts (V).

• Le commutateur K relie le condensateur en position 1 et la résistance en position 2.

📖 2. Équations différentielles du circuit

★ À maîtriser

📐 Formule - En charge, la tension du condensateur vérifie $RC\frac{dU_C}{dt} + U_C = E$.

📐 Formule - En décharge, le générateur est absent de la maille, donc $E = 0$ et la tension vérifie $RC\frac{dU_C}{dt} + U_C = 0$.

• En charge, la loi des mailles donne $E = U_R + U_C$.

Compléments

📐 Formule - En charge, la charge du condensateur vérifie $R\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} = E$.

• Les équations différentielles du circuit RC sont linéaires à coefficients constants.

💡 Astuce mémo

Charge : le générateur impose E ; décharge : E = 0.

📖 3. Solutions en charge et décharge

★ À maîtriser

📐 Formule - Avec $U_C(0)=0$, la tension en charge est $U_C(t)=E\left(1-e^{-t/(RC)}\right)$.

📐 Formule - En charge, le courant est $i(t)=\frac{E}{R}e^{-t/(RC)}$.

📐 Formule - Avec $U_C(0)=U_0$, la tension en décharge est $U_C(t)=U_0e^{-t/(RC)}$.

📐 Formule - En décharge, le courant est $i(t)=-\frac{U_0}{R}e^{-t/(RC)}$ et il est négatif.

Compléments

📐 Formule - En charge, la charge du condensateur est $Q(t)=CE\left(1-e^{-t/(RC)}\right)$.

📐 Formule - En décharge, la charge du condensateur est $Q(t)=CU_0e^{-t/(RC)}$.

💡 Astuce mémo

Charge : exponentielle vers E ; décharge : exponentielle vers 0.

📖 4. Constante de temps et courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Constante de temps : La constante de temps τ est définie par $\tau=RC$ et caractérise la rapidité du régime transitoire.

★ À maîtriser

• À t = τ en charge, $U_C=0{,}63E$ et $i=0{,}37\frac{E}{R}$.

• À t = τ en décharge, $U_C=0{,}37U_0$ et $i=-0{,}37\frac{U_0}{R}$.

Compléments

• Les solutions des équations différentielles du circuit RC sont des fonctions exponentielles.

💡 Astuce mémo

À τ, la charge a parcouru 63 % de sa montée et la décharge a perdu 63 % de sa valeur initiale.

📖 5. Évolution et régime permanent

★ À maîtriser

• En charge, U_C augmente exponentiellement vers E tandis que i décroît exponentiellement vers 0 ; à long terme, $U_C\to E$ et $i\to 0$.

• En décharge, U_C décroît exponentiellement vers 0 et le courant négatif décroît exponentiellement vers 0 ; à long terme, $U_C\to 0$ et $i\to 0$.

• Le régime permanent est atteint après environ 5τ.

Compléments

• En charge, U_C vaut 0, 0,63 E, 0,86 E, 0,95 E et environ E aux temps 0, τ, 2τ, 3τ et 5τ, respectivement.

• En décharge, U_C vaut U₀, 0,37 U₀, 0,14 U₀, 0,05 U₀ et environ 0 aux temps 0, τ, 2τ, 3τ et 5τ, respectivement.

• Le circuit RC est un circuit du premier ordre.

💡 Astuce mémo

À 0, τ, 2τ, 3τ puis 5τ, la charge approche E et la décharge approche 0.