QCM : Ensembles de nombres — 19 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les nombres premiers, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Les deux diviseurs positifs sont 11 et lui-même.
Un nombre premier possède au moins trois diviseurs positifs.
Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs.
Tout entier positif est un nombre premier.
Un nombre premier est un entier positif.

Les deux diviseurs positifs sont $$1$$ et lui-même. · Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs. · Un nombre premier est un entier positif.

Explication

Un nombre premier est un entier positif ayant exactement deux diviseurs positifs : 11 et lui-même. Il ne doit donc pas être confondu avec un nombre composé, qui possède davantage de diviseurs positifs.

2. Concernant les fractions irréductibles :

Une fraction irréductible possède un PGCD égal à 1 entre ses termes.
Une fraction irréductible a un numérateur et un dénominateur tous deux premiers.
Une fraction irréductible ne peut pas être négative.
Une fraction irréductible possède nécessairement un dénominateur égal à 1.
Une fraction irréductible ne peut pas représenter un nombre entier.

Une fraction irréductible possède un PGCD égal à 1 entre ses termes.

Explication

Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur ont pour seul diviseur commun 1. Cette propriété équivaut à avoir un PGCD égal à 1.

3. Concernant l’ensemble des entiers naturels :

Il exclut zéro comme l’ensemble des entiers naturels non nuls.
Il contient les entiers relatifs négatifs.
Il contient les entiers positifs et négatifs sans le zéro.
Il est noté Z\mathbb{Z}.
Il contient les entiers positifs ou nuls.

Il contient les entiers positifs ou nuls.

Explication

Les entiers naturels regroupent les entiers positifs ou nuls, donc 0 leur appartient. Les entiers naturels non nuls excluent précisément 0.

4. Concernant la parité des entiers, les propositions suivantes sont-elles exactes ?

Un nombre impair est un entier qui n’est pas multiple de 22.
Tout entier positif est pair.
Un entier négatif ne peut pas être impair.
Un nombre pair est un entier multiple de 22.
Un nombre impair possède exactement deux diviseurs positifs.

Un nombre impair est un entier qui n’est pas multiple de $$2$$. · Un nombre pair est un entier multiple de $$2$$.

Explication

Un nombre pair est un multiple de 22, tandis qu’un nombre impair n’est pas multiple de 22. La parité ne dépend pas du fait qu’un nombre soit positif ou négatif.

5. Soient mm et nn deux multiples d’un entier aa. Quelles sont les réponses exactes ?

Les entiers mm et nn doivent être des multiples de 22.
La somme m+nm+n est nécessairement un nombre premier.
La différence m−nm-n est la propriété explicitement établie ici.
La somme de deux multiples de aa reste multiple de aa.
La somme m+nm+n est un multiple de aa.

La somme de deux multiples de $$a$$ reste multiple de $$a$$. · La somme $$m+n$$ est un multiple de $$a$$.

Explication

La somme de deux multiples d’un même entier aa est encore un multiple de aa. Cette propriété porte sur la somme et ne permet pas d’affirmer qu’une différence quelconque possède la même propriété dans le cadre énoncé.

6. Concernant les nombres rationnels et réels, la(les)quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) ?

Les nombres réels comprennent les nombres rationnels et les nombres irrationnels.
Tout nombre rationnel est nécessairement un nombre décimal.
L’ensemble des nombres rationnels contient tous les nombres réels.
L’ensemble des abscisses d’une droite graduée est l’ensemble des nombres réels.
Les nombres irrationnels sont des nombres réels non rationnels.

Les nombres réels comprennent les nombres rationnels et les nombres irrationnels. · L’ensemble des abscisses d’une droite graduée est l’ensemble des nombres réels. · Les nombres irrationnels sont des nombres réels non rationnels.

Explication

L’ensemble des réels est l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée. Il contient les rationnels et les irrationnels, tandis que tout rationnel n’est pas nécessairement décimal.

7. Parmi les propositions suivantes concernant une fraction irréductible, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Son numérateur et son dénominateur ont un PGCD égal à 1.
Son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
Elle peut être obtenue après simplification d’une fraction équivalente.
Son dénominateur est nécessairement un nombre premier.
Son numérateur est nécessairement inférieur à son dénominateur.

Son numérateur et son dénominateur ont un PGCD égal à 1. · Son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. · Elle peut être obtenue après simplification d’une fraction équivalente.

Explication

Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1, ce qui caractérise une fraction irréductible. Un PGCD supérieur à 1 indique qu’une simplification est possible.

8. Les relations suivantes entre nombres rationnels, irrationnels et réels sont-elles exactes ?

Tout nombre réel est nécessairement rationnel.
L’ensemble des nombres rationnels est inclus dans celui des nombres réels.
Un nombre irrationnel est un réel qui n’est pas rationnel.
Le nombre 3\sqrt3 est un nombre irrationnel.
L’ensemble des nombres réels est inclus dans celui des nombres rationnels.

L’ensemble des nombres rationnels est inclus dans celui des nombres réels. · Un nombre irrationnel est un réel qui n’est pas rationnel. · Le nombre $$\sqrt3$$ est un nombre irrationnel.

Explication

Un nombre réel non rationnel est irrationnel, comme π\pi, 2\sqrt2 et 3\sqrt3. Les ensembles s’emboîtent selon N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R.

9. Concernant les inclusions entre les ensembles de nombres décimaux, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le nombre −0,5-0,5 est un exemple de nombre décimal non entier.
Tout nombre naturel appartient à l’ensemble des nombres entiers.
L’ensemble des nombres entiers est inclus dans celui des nombres décimaux.
Tout nombre entier appartient à l’ensemble des nombres décimaux.
Tout nombre décimal appartient à l’ensemble des nombres entiers.

Le nombre $$-0,5$$ est un exemple de nombre décimal non entier. · Tout nombre naturel appartient à l’ensemble des nombres entiers. · L’ensemble des nombres entiers est inclus dans celui des nombres décimaux. · Tout nombre entier appartient à l’ensemble des nombres décimaux.

Explication

Les inclusions correctes sont N⊂Z⊂D\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D. Ainsi, tout entier est décimal, mais certains décimaux, comme −0,5-0,5, ne sont pas entiers.

10. À propos de la décomposition en facteurs premiers, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La décomposition en facteurs premiers est unique.
Tout entier naturel supérieur ou égal à 22 est premier ou produit de nombres premiers.
La décomposition en facteurs premiers dépend de l’ordre choisi pour les facteurs.
Tout entier naturel supérieur ou égal à 22 est nécessairement composé.
L’ordre d’écriture des facteurs premiers peut varier.

La décomposition en facteurs premiers est unique. · Tout entier naturel supérieur ou égal à $$2$$ est premier ou produit de nombres premiers. · L’ordre d’écriture des facteurs premiers peut varier.

Explication

Tout entier naturel supérieur ou égal à 22 est premier ou se décompose en produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique quant aux facteurs, mais pas quant à leur ordre d’écriture.

11. Concernant les relations entre les ensembles N\mathbb{N} et Z\mathbb{Z}, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Tout entier naturel appartient à l’ensemble des entiers relatifs.
Le symbole ∉\notin signifie qu’un élément n’appartient pas à un ensemble.
Le symbole ⊂\subset indique qu’un ensemble est inclus dans un autre.
L’écriture N⊂Z\mathbb{N}\subset\mathbb{Z} signifie que Z\mathbb{Z} est inclus dans N\mathbb{N}.
Le symbole ∈\in signifie qu’un ensemble est inclus dans un autre.

Tout entier naturel appartient à l’ensemble des entiers relatifs. · Le symbole $$\notin$$ signifie qu’un élément n’appartient pas à un ensemble. · Le symbole $$\subset$$ indique qu’un ensemble est inclus dans un autre.

Explication

L’inclusion N⊂Z\mathbb{N}\subset\mathbb{Z} signifie que tout entier naturel est un entier relatif. Les symboles ∈\in et ⊂\subset expriment respectivement l’appartenance d’un élément et l’inclusion d’un ensemble.

12. À propos des nombres décimaux :

Le nombre −0,5-0,5 appartient à l’ensemble des nombres décimaux.
Le nombre 13\frac{1}{3} appartient à l’ensemble des nombres décimaux.
Ils peuvent s’écrire sous la forme a10n\frac{a}{10^n} avec aa entier relatif et nn naturel.
Ils possèdent une écriture décimale comportant un nombre fini de chiffres après la virgule.
Tout nombre décimal possède une écriture décimale comportant une infinité de chiffres après la virgule.

Le nombre $$-0,5$$ appartient à l’ensemble des nombres décimaux. · Ils peuvent s’écrire sous la forme $$\frac{a}{10^n}$$ avec $$a$$ entier relatif et $$n$$ naturel. · Ils possèdent une écriture décimale comportant un nombre fini de chiffres après la virgule.

Explication

Un nombre décimal s’écrit sous la forme a10n\frac{a}{10^n} avec aa entier relatif et nn naturel. Il possède donc une écriture décimale finie, contrairement à 13\frac{1}{3}.

13. Concernant les entiers naturels non nuls et leur PGCD, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le PGCD est le plus petit multiple commun aux deux entiers.
Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur plus grand diviseur commun.
Le carré d’un nombre impair est impair.
Deux entiers premiers entre eux ont un PGCD supérieur à 11.
Deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 11.

Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur plus grand diviseur commun. · Le carré d’un nombre impair est impair. · Deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux si leur PGCD vaut $$1$$.

Explication

Le PGCD décrit le plus grand diviseur commun, et la condition de primalité entre deux entiers est PGCD⁡=1\operatorname{PGCD}=1. Le carré d’un nombre impair est impair, mais cette propriété ne définit pas le PGCD.

14. Quelles sont les réponses exactes au sujet des exemples de nombres décimaux ?

Le nombre 13\frac{1}{3} possède une écriture décimale finie.
Le nombre 13\frac{1}{3} n’est pas un nombre décimal.
Le nombre −0,5-0,5 appartient à l’ensemble des nombres décimaux.
Le nombre −0,5-0,5 s’écrit −5101\frac{-5}{10^1}.
Le nombre 13\frac{1}{3} s’écrit 1103\frac{1}{10^3}.

Le nombre $$\frac{1}{3}$$ n’est pas un nombre décimal. · Le nombre $$-0,5$$ appartient à l’ensemble des nombres décimaux. · Le nombre $$-0,5$$ s’écrit $$\frac{-5}{10^1}$$.

Explication

Le nombre 13\frac{1}{3} n’est pas décimal, car il ne peut pas s’écrire avec un dénominateur égal à une puissance de 10. En revanche, −0,5=−5101-0,5=\frac{-5}{10^1} montre que −0,5-0,5 est décimal.

15. Concernant le PGCD et les entiers premiers entre eux, quelles sont les réponses exactes ?

Le PGCD est le plus grand des diviseurs communs.
Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 11.
Le PGCD est toujours égal au plus petit des deux entiers.
Le PGCD est un diviseur commun aux deux entiers.
Des entiers premiers entre eux possèdent nécessairement deux diviseurs communs.

Le PGCD est le plus grand des diviseurs communs. · Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut $$1$$. · Le PGCD est un diviseur commun aux deux entiers.

Explication

Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur plus grand diviseur commun. Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 11.

16. Les caractéristiques suivantes décrivent les nombres décimaux :

Un nombre décimal possède une écriture avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
Tout nombre décimal est nécessairement un nombre entier.
Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme a10n\frac{a}{10^n}.
Le nombre −0,5-0,5 peut s’écrire −5101\frac{-5}{10^1}.
Le nombre 13\frac{1}{3} est décimal grâce à son écriture fractionnaire.

Un nombre décimal possède une écriture avec un nombre fini de chiffres après la virgule. · Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme $$\frac{a}{10^n}$$. · Le nombre $$-0,5$$ peut s’écrire $$\frac{-5}{10^1}$$.

Explication

Un nombre décimal possède un nombre fini de chiffres après la virgule et peut s’écrire avec une puissance de 10 au dénominateur. L’écriture de −0,5-0,5 sous la forme −5101\frac{-5}{10^1} en fournit un exemple.

17. Parmi les propositions suivantes concernant les entiers relatifs, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

L’ensemble N\mathbb{N} contient des entiers négatifs.
L’ensemble des entiers naturels est inclus dans l’ensemble des entiers relatifs.
L’ensemble Z\mathbb{Z} est inclus dans N\mathbb{N}.
L’ensemble des entiers relatifs est noté Z\mathbb{Z}.
Les entiers relatifs comprennent les entiers négatifs.

L’ensemble des entiers naturels est inclus dans l’ensemble des entiers relatifs. · L’ensemble des entiers relatifs est noté $$\mathbb{Z}$$. · Les entiers relatifs comprennent les entiers négatifs.

Explication

Les entiers relatifs comprennent les entiers négatifs, les entiers positifs et zéro, et sont notés Z\mathbb{Z}. L’ensemble N\mathbb{N} est inclus dans Z\mathbb{Z}, tandis que les symboles d’appartenance et d’inclusion ne sont pas interchangeables.

18. Un entier aa est un multiple d’un entier bb lorsque :

L’entier aa possède exactement deux diviseurs positifs.
L’entier bb est un diviseur de aa.
Il existe un entier kk tel que b=k×ab=k\times a.
L’entier aa est nécessairement inférieur à bb.
Il existe un entier kk tel que a=k×ba=k\times b.

L’entier $$b$$ est un diviseur de $$a$$. · Il existe un entier $$k$$ tel que $$a=k\times b$$.

Explication

Un entier aa est multiple de bb lorsqu’il existe un entier kk tel que a=k×ba=k\times b. Ainsi, 1818 est multiple de 66 car 18=3×618=3\times6, tandis que la relation inverse concerne la notion de diviseur.

19. À propos des ensembles de nombres, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le nombre 2\sqrt2 est un nombre réel non rationnel.
L’ensemble des nombres décimaux est inclus dans celui des nombres réels.
Tout nombre décimal appartient à l’ensemble des nombres rationnels.
Tout nombre rationnel appartient à l’ensemble des nombres décimaux.
Le nombre π\pi est un exemple de nombre irrationnel.

Le nombre $$\sqrt2$$ est un nombre réel non rationnel. · L’ensemble des nombres décimaux est inclus dans celui des nombres réels. · Tout nombre décimal appartient à l’ensemble des nombres rationnels. · Le nombre $$\pi$$ est un exemple de nombre irrationnel.

Explication

Un irrationnel est un réel qui n’est pas rationnel ; π\pi, 2\sqrt2 et 3\sqrt3 en sont des exemples. Les inclusions correctes sont N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R.

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Que désigne l'ensemble noté N ?

L'ensemble des entiers positifs ou nuls.

Que désigne l'ensemble noté Z ?

L'ensemble des entiers positifs, nuls et négatifs.

Que signifie la notation N ⊂ Z ?

L'ensemble des entiers naturels est inclus dans celui des entiers relatifs.

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