QCM : Suites numériques et limites — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour établir par récurrence qu’une propriété P(n)P(n) est vraie pour tout entier n≥n0n\geq n_0, quelles conditions faut-il vérifier ?

Vérifier P(n0)P(n_0) et montrer que P(k)P(k) implique P(k+2)P(k+2) pour tout k≥n0k\geq n_0
Vérifier P(n0)P(n_0) et montrer que P(k)P(k) implique P(k+1)P(k+1) pour tout k≥n0k\geq n_0
Montrer que P(n0)P(n_0) est fausse puis établir que P(k)P(k) implique P(k+1)P(k+1)
Vérifier P(0)P(0) et montrer que P(k+1)P(k+1) implique P(k)P(k) pour tout k≥n0k\geq n_0

Vérifier $$P(n_0)$$ et montrer que $$P(k)$$ implique $$P(k+1)$$ pour tout $$k\geq n_0$$

Explication

La récurrence repose sur l’initialisation au rang n0n_0 et sur l’hérédité, qui transforme la validité au rang kk en validité au rang k+1k+1. Vérifier un rang différent ou passer directement de kk à k+2k+2 ne correspond pas au principe demandé.

2. Qu'est-ce que le principe de récurrence en mathématiques ?

C'est une méthode pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels en montrant qu'elle est vraie pour un rang initial et qu'elle se transmet d'un rang au suivant.
C'est une méthode pour déterminer si une suite est bornée ou non.
C'est une technique pour calculer la limite d'une suite en utilisant ses termes précédents.
C'est une procédure pour résoudre des équations différentielles en utilisant des suites numériques.

C'est une méthode pour prouver qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels en montrant qu'elle est vraie pour un rang initial et qu'elle se transmet d'un rang au suivant.

Explication

Le principe de récurrence consiste à prouver qu'une propriété est vraie pour un rang initial et que si elle est vraie pour un rang, alors elle l'est pour le suivant. La réponse correcte décrit précisément cette méthode, contrairement aux autres options qui concernent d'autres concepts.

3. Dans quel ordre les étapes d’une démonstration par récurrence doivent-elles être présentées ?

Hérédité, conclusion pour tout n≥n0n\geq n_0, puis initialisation
Conclusion pour tout n≥n0n\geq n_0, initialisation, puis hérédité
Initialisation, hérédité, puis conclusion pour tout n≥n0n\geq n_0
Initialisation, conclusion pour tout n≥n0n\geq n_0, puis hérédité

Initialisation, hérédité, puis conclusion pour tout $$n\geq n_0$$

Explication

Une démonstration commence par vérifier la propriété au rang initial, puis démontre sa transmission d’un rang au suivant avant de conclure pour tous les rangs concernés. Conclure avant d’avoir établi l’hérédité laisse la démonstration incomplète.

4. Quelle est la première étape essentielle dans une démonstration par récurrence ?

Vérifier l'hypothèse initiale P(n₀)
Définir la propriété P(n)
Prouver que P(k) implique P(k+1)
Conclure que P(n) est vraie pour tout n≥n₀

Vérifier l'hypothèse initiale P(n₀)

Explication

L'initialisation consiste à vérifier que la propriété P(n) est vraie pour le premier rang n₀. La démonstration par récurrence commence toujours par cette étape avant de prouver l'hérédité.

5. Quelle caractéristique définit une suite convergente ?

Elle possède une limite qui augmente sans borne
Elle possède des termes tous égaux à un même nombre réel
Elle admet pour limite un nombre réel
Elle devient strictement croissante à partir d’un certain rang

Elle admet pour limite un nombre réel

Explication

Une suite convergente est définie par l’existence d’une limite réelle. L’égalité des termes, la croissance et une limite infinie décrivent d’autres situations et ne suffisent pas à caractériser la convergence.

6. Quel est le but principal de la formule des limites usuelles nulles pour 1nk\frac{1}{n^k} lorsque nn tend vers +∇+\nabla ?

Prouver que ces expressions divergent vers +∇+\nabla ou −∇-\nabla
Démontrer que ces expressions ont une limite finie différente de zéro
Montrer que ces expressions tendent vers zéro pour tout entier naturel k≥1k \geq 1
Calculer la valeur exacte de ces limites pour chaque kk

Montrer que ces expressions tendent vers zéro pour tout entier naturel $$k \geq 1$$

Explication

La formule montre que pour tout entier naturel k≥1k \geq 1, 1nk\frac{1}{n^k} tend vers 00 lorsque nn tend vers +∇+\nabla. La réponse incorrecte la plus plausible est la troisième, qui confond limite infinie et limite nulle.

7. Que signifie que la suite (un)(u_n) a pour limite le réel ℓ\ell ?

Tous les termes de la suite appartiennent à ]ℓ−ε,ℓ+ε[]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[ pour chaque ε>0\varepsilon>0
La suite contient au moins un terme situé dans ]ℓ−ε,ℓ+ε[]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[ pour chaque ε>0\varepsilon>0
Pour tout ε>0\varepsilon>0, les termes sont dans ]ℓ−ε,ℓ+ε[]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[ à partir d’un certain rang
Le terme unu_n est égal à ℓ\ell dès que nn dépasse un certain rang

Pour tout $$\varepsilon>0$$, les termes sont dans $$]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[$$ à partir d’un certain rang

Explication

La définition exige que, pour chaque précision ε>0\varepsilon>0, tous les termes à partir d’un certain rang soient compris entre ℓ−ε\ell-\varepsilon et ℓ+ε\ell+\varepsilon. Elle ne demande ni que tous les termes soient proches, ni qu’ils deviennent exactement égaux à la limite.

8. Quand la propriété de convergence monotone d'une suite est-elle généralement utilisée pour établir sa limite ?

Lorsque la suite est croissante et non bornée.
Lorsque la suite est décroissante et non bornée.
Lorsque la suite est monotone et bornée.
Lorsque la suite est non monotone et non bornée.

Lorsque la suite est monotone et bornée.

Explication

La convergence monotone s'applique lorsque la suite est monotone (croissante ou décroissante) et bornée, ce qui garantit sa convergence. Elle ne permet pas de déterminer la limite exacte, mais assure simplement la convergence.

9. En quoi la limite infinie d'une suite croissante non majorée diffère-t-elle de celle d'une suite décroissante non minorée ?

La première tend vers +, tandis que la seconde tend vers -.
Les deux tendent vers +, mais pour des raisons différentes.
Les deux peuvent diverger, mais la première est toujours croissante, la seconde décroissante.
La première peut converger vers une limite finie, alors que la seconde ne peut pas.

La première tend vers +, tandis que la seconde tend vers -.

Explication

Une suite croissante non majorée tend vers +, tandis qu'une suite décroissante non minorée tend vers -. La différence réside dans le signe de leur divergence, ce qui reflète leur comportement asymptotique.

10. Qui est crédité de la formulation du principe de récurrence en mathématiques ?

Le mathématicien français Jacques Hadamard
Le mathématicien français Pierre-Simon Laplace
Le mathématicien allemand Augustin-Louis Cauchy
Le mathématicien allemand Karl Weierstrass

Le mathématicien allemand Augustin-Louis Cauchy

Explication

Le principe de récurrence a été formalisé par Augustin-Louis Cauchy, qui a contribué à sa rigueur. Les autres mathématiciens ont apporté des contributions importantes mais pas à cette formulation spécifique.

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Qu'impose le principe de récurrence pour prouver P(n) vraie pour tout n≥n₀ ?

P(n₀) est vraie et P(k) implique P(k+1) pour tout k≥n₀.

Principe de récurrence - définition

Montre qu’une propriété est vraie pour tout n≥n₀

Quelles sont les trois étapes d'une démonstration par récurrence ?

Initialisation, hérédité, puis conclusion.

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