Fiche de révision : Suites numériques et limites

📋 Plan du Cours

1. Raisonnement par récurrence
2. Convergence vers une limite finie
3. Limites usuelles nulles
4. Encadrement et convergence monotone
5. Limites infinies des suites
6. Opérations sur les limites

📖 1. Raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de récurrence : établit qu’une propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n≥n₀ si elle est vraie au rang initial n₀ et si, pour tout entier k≥n₀, P(k) implique P(k+1).

★ À maîtriser

• 🔄 Une démonstration par récurrence comporte trois étapes:
  1. l’initialisation de P(n₀)
  2. l’hérédité montrant que P(k) implique P(k+1)
  3. la conclusion que P(n) est vraie pour tout n≥n₀

Compléments

• Pour la suite définie par a₁=0,5 et aₙ₊₁=0,5aₙ+0,3, une récurrence montre que, pour tout entier naturel n≥1, $0\leq a_n\leq 0{,}6$.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 2. Convergence vers une limite finie

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : est une suite qui admet pour limite un nombre réel ℓ.
• Limite d’une suite : lorsque, pour tout réel ε>0, il existe un rang n₀ tel que, pour tout n≥n₀, $\ell-\varepsilon<u_n<\ell+\varepsilon$.

★ À maîtriser

📌 Une suite divergente est une suite qui n’a pas de limite réelle ou qui possède une limite infinie, tandis qu’une suite convergente possède une limite réelle.

Compléments

• Si une suite admet une limite réelle ℓ, cette limite est unique.

💡 Astuce mémo

Les termes de la suite se resserrent autour de ℓ

📖 3. Limites usuelles nulles

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout entier naturel k≥1, $\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n^k}=0$; en particulier, $\lim_{n\to+\infty}\frac1n=0$, $\lim_{n\to+\infty}\frac1{\sqrt n}=0$ et $\lim_{n\to+\infty}\frac1{n^2}=0$.

Compléments

• Pour démontrer que $\lim_{n\to+\infty}\frac1n=0$, on choisit un entier n₀ supérieur ou égal au plus petit entier suivant 1/ε, ce qui garantit que n≥n₀ implique $|1/n-0|<\varepsilon$.

📖 4. Encadrement et convergence monotone

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : est majorée s’il existe un réel M tel que, pour tout entier naturel n, $u_n\leq M$; M est alors un majorant.
• Suite minorée : est minorée s’il existe un réel m tel que, pour tout entier naturel n, $u_n\geq m$; m est alors un minorant.
• Suite bornée : est bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée, c’est-à-dire lorsqu’il existe deux réels m et M tels que, pour tout n, $m\leq u_n\leq M$.

★ À maîtriser

📌 Toute suite croissante et majorée converge, et toute suite décroissante et minorée converge.

Compléments

📌 Le théorème de convergence monotone permet d’affirmer qu’une suite converge, mais ne permet pas de déterminer sa limite.

💡 Astuce mémo

Monotonie + borne → convergence

📖 5. Limites infinies des suites

★ À maîtriser

📌 Toute suite croissante non majorée a pour limite +∞, et toute suite décroissante non minorée a pour limite −∞.

Compléments

📐 Formule — Les suites usuelles vérifient $\lim_{n\to+\infty}n=+\infty$, $\lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty$, $\lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty$ et, pour tout entier k≥1, $\lim_{n\to+\infty}n^k=+\infty$.

💡 Astuce mémo

Suite bornée vers ℓ, suite non bornée vers +∞ ou −∞

📖 6. Opérations sur les limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme indéterminée : est une opération de limites qui ne permet pas de savoir directement si une limite existe ni, le cas échéant, d’en calculer la valeur.

★ À maîtriser

• La limite d’une somme est obtenue en additionnant les limites lorsque les opérations sont déterminées, mais la somme de +∞ et −∞ est une forme indéterminée.

• La limite d’un produit est obtenue en multipliant les limites lorsque les signes et les valeurs le permettent, mais les formes 0×∞ et ∞×0 sont indéterminées.

• La limite d’un quotient est obtenue en divisant les limites lorsque le dénominateur limite est non nul ou lorsque le quotient est déterminé, mais les formes ∞/∞ et 0/0 sont indéterminées.

Compléments

• On a $\lim_{n\to+\infty}(7/3^n-2)(\sqrt n+4)=-\infty$, car 7/3ⁿ tend vers 0, le premier facteur tend vers −2 et le second vers +∞.

💡 Astuce mémo

Opération calculable, sauf forme indéterminée