Suites numériques et limites

📋 Plan du Cours

1. Raisonnement par récurrence
2. Convergence vers une limite finie
3. Limites usuelles nulles
4. Encadrement et convergence monotone
5. Limites infinies des suites
6. Opérations sur les limites

📖 1. Raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de récurrence : établit qu’une propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n≥n₀ si elle est vraie au rang initial n₀ et si, pour tout entier k≥n₀, P(k) implique P(k+1).

★ À maîtriser

• 🔄 Une démonstration par récurrence comporte trois étapes:
  1. l’initialisation de P(n₀)
  2. l’hérédité montrant que P(k) implique P(k+1)
  3. la conclusion que P(n) est vraie pour tout n≥n₀

Compléments

• Pour la suite définie par a₁=0,5 et aₙ₊₁=0,5aₙ+0,3, une récurrence montre que, pour tout entier naturel n≥1, $0\leq a_n\leq 0{,}6$.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 2. Convergence vers une limite finie

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : est une suite qui admet pour limite un nombre réel ℓ.
• Limite d’une suite : lorsque, pour tout réel ε>0, il existe un rang n₀ tel que, pour tout n≥n₀, $\ell-\varepsilon<u_n<\ell+\varepsilon$.