Fiche de révision : Ensembles de nombres

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et relatifs
2. Multiples diviseurs et parité
3. Nombres premiers et PGCD
4. Fractions irréductibles
5. Nombres décimaux
6. Rationnels et réels

📖 1. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Ensemble des entiers positifs ou nuls
• Entiers relatifs : Ensemble des entiers positifs ou nuls et des entiers négatifs

★ À maîtriser

📌 L’ensemble des entiers naturels est inclus dans l’ensemble des entiers relatifs, ce qui se note N ⊂ Z.

Compléments

• Les symboles ∈ et ∉ signifient respectivement « appartient » et « n’appartient pas », tandis que ⊂ et ⊄ signifient respectivement « inclus dans » et « pas inclus dans ».

💡 Astuce mémo

N contient les entiers positifs ou nuls, tandis que Z ajoute les entiers négatifs.

📖 2. Multiples diviseurs et parité

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple : Un entier a est un multiple d’un entier b s’il existe un entier k tel que $a=k\times b$.
• Diviseur : Un entier a est un diviseur d’un entier b si b est un multiple de a.

★ À maîtriser

• Un nombre pair est un entier multiple de 2, tandis qu’un nombre impair est un entier qui n’est pas multiple de 2.

📌 La somme de deux multiples d’un entier a est un multiple de a.

Compléments

• Tout entier est multiple de 1, 0 est multiple de tout entier et tout entier est multiple de lui-même.

💡 Astuce mémo

Écrire a = k×b permet d’identifier un multiple, puis le diviseur associé.

📖 3. Nombres premiers et PGCD

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier positif qui admet exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même
• PGCD : Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est le plus grand de leurs diviseurs communs.
• Nombres premiers entre eux : Deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.

★ À maîtriser

📌 Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 est premier ou produit de nombres premiers, et cette décomposition en facteurs premiers est unique.

Compléments

📌 Le carré d’un nombre impair est impair.

💡 Astuce mémo

Décomposer, rechercher les diviseurs communs, puis conclure sur le PGCD.

📖 4. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux, c’est-à-dire si leur seul diviseur commun est 1.

📖 5. Nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : L’ensemble des nombres décimaux, noté D, est l’ensemble des nombres qui s’écrivent sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec a entier relatif et n entier naturel.

★ À maîtriser

• Un nombre décimal s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

📌 Les inclusions entre ensembles sont N ⊂ Z ⊂ D, tandis que D n’est pas inclus dans Z.

• Le nombre 1/3 n’est pas décimal, car supposer qu’il soit égal à a/10^m conduit à rendre 10^m multiple de 3, ce qui est impossible.

Compléments

• Le nombre -0,5 appartient à D car il s’écrit $-0{,}5=\frac{-5}{10^1}$ avec -5 entier relatif et 1 entier naturel.

💡 Astuce mémo

D s’écrit avec une puissance de 10 au dénominateur, contrairement à 1/3.

📖 6. Rationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Ensemble des abscisses des points d’une droite graduée
• Nombres irrationnels : Un nombre réel non rationnel est appelé nombre irrationnel ; π, √2 et √3 sont des exemples d’irrationnels.

📝 Points essentiels

📌 Les inclusions entre ensembles sont N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles de nombres