Fiche de révision : Ensembles de nombres et calcul

📋 Plan du Cours

1. Les ensembles de nombres
2. Les puissances entières
3. Les racines carrées

📖 1. Les ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Entiers positifs ou nuls.
• Nombres décimaux : Nombres qui s’écrivent sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où $a$ est un entier relatif et $n$ un entier naturel, et qui ont un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Nombres rationnels : Nombres qui s’écrivent sous la forme $\frac{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers et $b\ne0$.
• Nombres réels : Abscisses des points d’une droite graduée, permettant de mesurer des grandeurs.
• Entiers relatifs : Entiers positifs, négatifs ou nuls.
• Nombres irrationnels : Nombres réels qui ne sont pas rationnels.
• Réels privés de zéro : Ensemble des nombres réels privé de 0.

📝 Points essentiels

• L’inclusion des ensembles de nombres est ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

💡 Astuce mémo

De ℕ à ℝ : naturels → relatifs → décimaux → rationnels → réels.

📖 2. Les puissances entières

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Pour un réel $a$ et un entier naturel $n$, $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $a\ne0$ et $n$ entier naturel, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📐 Formule - Pour une même base, le produit de puissances vérifie $a^n\times a^m=a^{n+m}$.

📐 Formule - Pour $a\ne0$, le quotient de puissances de même base vérifie $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout réel $a$, $a^1=a$ et, par convention, $a^0=1$ ; si $a\ne0$, $a^{-1}=\frac{1}{a}$.

📐 Formule - Pour un même exposant, $a^n\times b^n=(a\times b)^n$ et, si $b\ne0$, $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$.

📐 Formule - Une puissance d’une puissance vérifie $(a^m)^n=a^{m\times n}$.

📌 Il n’existe pas de règle de calcul permettant de transformer $a^n+a^m$ en une seule puissance.

📌 En général, $(a+b)^n\ne a^n+b^n$ ; par exemple, $(1+2)^3=27$ alors que $1^3+2^3=9$.

💡 Astuce mémo

Même base : on additionne les exposants ; même exposant : on regroupe les bases.

📖 3. Les racines carrées

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour un réel positif $a$, le réel positif dont le carré vaut $a$.
• Carré parfait : Carré d’un entier naturel.

★ À maîtriser

📌 Un nombre négatif n’admet pas de racine carrée réelle, car le carré d’un nombre réel ne peut pas être négatif.

📐 Formule - Pour tout réel $a$, $\sqrt{a^2}=a$ si $a\ge0$ et $\sqrt{a^2}=-a$ si $a<0$.

📐 Formule - Pour des réels positifs $a$ et $b$, $\sqrt{a\times b}=\sqrt a\times\sqrt b$.

Compléments

📐 Formule - Pour $a\ge0$, $\sqrt a\times\sqrt a=(\sqrt a)^2=a$.

📐 Formule - Pour $a\ge0$ et $b>0$, $\sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.

• La simplification de racines par factorisation utilise les égalités $\sqrt{48}=\sqrt{16\times3}=4\sqrt3$ et $\sqrt{\frac{16}{81}}=\frac49$.