Fiche de révision : Arithmétique en troisième

📋 Plan du Cours

1. Divisibilité et division euclidienne
2. Nombres premiers et décomposition
3. PGCD et algorithme d’Euclide
4. PPCM et comparaison avec le PGCD
5. Fractions irréductibles
6. Tests de primalité et brevet

📖 1. Divisibilité et division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Un entier a est divisible par un entier b lorsque la division de a par b tombe juste, c’est-à-dire lorsque le reste est nul.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La division euclidienne de a par b s’écrit $a=b\times q+r$, où r est le reste compris entre 0 et b−1.

📖 2. Nombres premiers et décomposition

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un entier supérieur à 1 qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

• Tout entier supérieur à 1 s’écrit comme un produit de nombres premiers.

Compléments

• Le plus petit nombre premier est 2.

📖 3. PGCD et algorithme d’Euclide

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : Le plus grand diviseur commun de deux nombres.

★ À maîtriser

• Pour calculer le PGCD par l’algorithme d’Euclide, on divise le plus grand nombre par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et on poursuit jusqu’à obtenir un reste nul ; le dernier reste non nul est le PGCD.

Compléments

• Pour calculer le PGCD de 84 et 36, on écrit 84 = 36 × 2 + 12, puis 36 = 12 × 3 + 0 ; le PGCD vaut donc 12.

📖 4. PPCM et comparaison avec le PGCD

🔑 Notions clés & Définitions

• PPCM : Le plus petit multiple commun de deux nombres.

★ À maîtriser

📌 Le PGCD de deux nombres est inférieur ou égal à chacun d’eux, tandis que leur PPCM est supérieur ou égal à chacun d’eux.

Compléments

• Pour 12 et 18, le PGCD vaut 6 et le PPCM vaut 36.

💡 Astuce mémo

Le PGCD reste sous les deux nombres ; le PPCM se place au-dessus.

📖 5. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Une fraction est rendue irréductible en divisant son numérateur et son dénominateur par leur PGCD.

📝 Points essentiels

• Comme le PGCD de 84 et 120 vaut 12, la fraction 84/120 se simplifie en 7/10 en divisant le numérateur et le dénominateur par 12.

📖 6. Tests de primalité et brevet

★ À maîtriser

• Pour tester si un nombre supérieur à 1 est premier, on essaie de le diviser par les nombres premiers successifs 2, 3, 5, 7, 11, etc. ; on peut s’arrêter dès que le carré du nombre premier testé dépasse le nombre, et celui-ci est premier si aucun test ne le divise.

Compléments

• Les exercices de brevet portent régulièrement sur :
  • le PGCD dans des problèmes de partage
  • le PGCD dans des problèmes de bouquets
  • le PGCD dans des problèmes de carrelage
  • la décomposition en facteurs premiers

📊 Tableaux de synthèse

PGCD et PPCM