Fiche de révision : Ensembles de nombres et décimaux

📋 Plan du Cours

1. Nombres réels et droite orientée
2. Entiers naturels et opérations
3. Entiers relatifs et règles de signes
4. Nombres décimaux et arrondis
5. Nombres rationnels et écritures fractionnaires
6. Nombres irrationnels et symboles d’ensembles

📖 1. Nombres réels et droite orientée

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Ensemble des nombres représentés sur une droite graduée.
• Réels positifs ou nuls : Ensemble des réels positifs ou nuls.
• Réels négatifs ou nuls : Ensemble des réels négatifs ou nuls.
• Réels non nuls : Ensemble des réels différents de 0.
• Réels strictement positifs : Ensemble des réels strictement positifs, donc 0 en est exclu.

📝 Points essentiels

• Sur une droite orientée d’origine O, la distance OM est un nombre réel et le signe de la position de M est positif à droite de O et négatif à gauche de O.

💡 Astuce mémo

À droite de O : positif ; à gauche de O : négatif.

📖 2. Entiers naturels et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les entiers naturels, notés ℕ, sont les entiers de 0 à l’infini.

★ À maîtriser

📌 L’addition et la multiplication de deux entiers naturels donnent toujours un entier naturel, tandis que la soustraction et la division n’en donnent pas nécessairement un.

Compléments

• Les chiffres vont de 0 à 9, et un nombre est composé de chiffres.

• Le symbole ∈ signifie « appartient à » et le symbole ∉ signifie « n’appartient pas à ».

• La soustraction 5 − 7 = −2 ne donne pas un entier naturel, contrairement à 7 − 5 = 2.

• La division 7/5 ne donne pas un entier naturel, tandis que 6/3 = 2 en donne un.

📖 3. Entiers relatifs et règles de signes

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : Les entiers relatifs, notés ℤ, comprennent les entiers positifs, les entiers négatifs et 0.

★ À maîtriser

📌 L’addition, la multiplication et la soustraction de deux entiers relatifs donnent un entier relatif, contrairement à leur division qui ne le garantit pas.

📌 Pour une multiplication de nombres relatifs, deux facteurs de même signe donnent un résultat positif et deux facteurs de signes contraires donnent un résultat négatif.

Compléments

• La division 3/5 n’est pas un entier relatif.

• Les symboles < et > signifient respectivement « plus petit que » et « plus grand que ».

📖 4. Nombres décimaux et arrondis

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Nombre à virgule dont l’écriture comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Arrondi par excès : Le plus petit nombre décimal supérieur dont l’écriture s’arrête au chiffre des dixièmes.
• Arrondi par défaut : Le plus grand nombre décimal inférieur dont l’écriture s’arrête au chiffre des dixièmes.
• Arrondi au plus proche : Le plus proche des deux arrondis par excès et par défaut.

📝 Points essentiels

• 4/5 = 0,8 est un nombre décimal, tandis que 2/3 = 0,6666… n’en est pas un.

• Dans un nombre décimal, les chiffres situés avant la virgule forment la partie entière et ceux situés après la virgule forment la partie décimale.

• Pour 781,264, l’arrondi au dixième par excès est 781,3 et l’arrondi par défaut est 781,2.

📖 5. Nombres rationnels et écritures fractionnaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Nombre qui peut s’écrire comme le quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul.
• Écriture fractionnaire : Écriture fractionnaire a/b comporte un numérateur a et un dénominateur b.

★ À maîtriser

• L’écriture décimale d’un nombre rationnel peut être infinie, mais ses chiffres se répètent périodiquement à partir d’un certain rang.

Compléments

• Dans une écriture fractionnaire, le dénominateur b est non nul.

• Tout entier, comme 4, est un nombre rationnel.

• 533/700 = 0,761428571428571… est rationnel mais n’est pas décimal.

📖 6. Nombres irrationnels et symboles d’ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre irrationnel : Nombre réel qui n’est pas rationnel, soit un élément de ℝ \ ℚ.

★ À maîtriser

📌 Le symbole ∈ exprime l’appartenance d’un objet à un ensemble, tandis que le symbole ⊂ exprime l’inclusion d’un ensemble dans un autre.

Compléments

• π, √2 et √3 sont des nombres irrationnels.

• On a 1 ∈ {1, 2, 3, 4} et 5 ∉ {1, 2, 3, 4}.

• On a {1, 2} ⊂ {1, 2, 3, 4}.