Fiche de révision : Ensembles de nombres et fractions

📋 Plan du Cours

1. Construction et notation des ensembles
2. Entiers naturels et relatifs
3. Nombres décimaux
4. Nombres rationnels
5. Inclusion des ensembles numériques
6. Inverse d’un nombre rationnel

📖 1. Construction et notation des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Rassemblement d’objets déterminés, distincts et partageant au moins une caractéristique commune.

📝 Points essentiels

• Dans la construction des entiers présentée, l’ensemble vide représente 0, puis {∅} représente 1 élément, {∅ ; {∅}} représente 2 éléments, et l’ensemble obtenu en ajoutant récursivement ces constructions représente 3 puis 4 éléments.

• Un ensemble peut être vide et se note {} ou ∅ ; l’ensemble vide est contenu dans tous les ensembles.

• La notation en extension énumère les éléments d’un ensemble entre accolades, séparés par des points-virgules.

📖 2. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : L’ensemble des entiers naturels est ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; …}.
• Opposé : L’entier noté −k tel que k + (−k) = 0.
• Entiers relatifs : L’ensemble des entiers relatifs est ℤ = ℕ ∪ (−ℕ) = {…, −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}.

📝 Points essentiels

• Tout entier naturel k est une somme de k termes égaux à 1.

• 0 est l’unique entier égal à son propre opposé.

📐 Formule - Pour k, l ∈ ℤ, $k + (-l) = k - l$.

📐 Formule - Le symétrique du symétrique d’un entier R est R : $-(-R)=R$.

💡 Astuce mémo

ℕ avance à partir de 0 ; ℤ ajoute les symétriques négatifs.

📖 3. Nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Un nombre qui s’écrit $d=\frac{k}{10^n}$, avec k ∈ ℤ et n ∈ ℕ ; n indique le nombre de chiffres après la virgule et k le nombre formé par tous les chiffres de d.

★ À maîtriser

• Tout entier relatif est un nombre décimal, car k = k/10⁰ pour k ∈ ℤ.

Compléments

• Le nombre 0,123 s’écrit 123/10³ et le nombre −2,1212 s’écrit −21212/10⁴.

• Le nombre 1/4 est décimal, car 1/4 = 0,25 = 25/10².

📌 1/2 appartient à D mais pas à ℤ, puisque 1/2 = 0,5.

📖 4. Nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Un nombre qui s’écrit $x=\frac{p}{q}$, avec p ∈ ℤ et q ∈ ℕ*, où ℕ* désigne les entiers naturels non nuls.

★ À maîtriser

• Le nombre 1/3 n’est pas décimal : supposer 1/3 = k/10ⁿ conduit à 10ⁿ = 3k, alors que 10ⁿ n’est pas multiple de 3.

Compléments

• Dans l’écriture d’un rationnel p/q, le signe est porté par le numérateur p ; on écrit −1/5 plutôt que 1/−5.

• Un nombre rationnel a une écriture décimale finie ou une écriture décimale infinie périodique, comme 1/6 = 0,1666… et 2/7 = 0,285714285714….

• La fraction 3/8 est décimale, car 3/8 = 0,375.

📖 5. Inclusion des ensembles numériques

★ À maîtriser

📌 Tout nombre décimal est rationnel, car une écriture k/10ⁿ est un quotient dont le dénominateur 10ⁿ appartient à ℕ*.

• Les ensembles numériques sont inclus selon la chaîne ℕ ⊂ ℤ ⊂ D ⊂ ℚ.

Compléments

• Tout nombre naturel est donc aussi un entier relatif, un nombre décimal et un nombre rationnel.

📖 6. Inverse d’un nombre rationnel

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse : Le nombre rationnel y tel que x × y = y × x = 1 ; il se note x⁻¹.

★ À maîtriser

📌 L’inverse de p/q est q/p.

Compléments

• Lorsqu’il existe, l’inverse d’un nombre est unique.