QCM : Ensembles de nombres et fractions (8 questions)

Question 1

1. Quel rassemblement peut être appelé un ensemble au sens mathématique ?

Un rassemblement d’objets déterminés partageant une caractéristique commune, même s’ils sont répétés

Un rassemblement d’objets partageant une caractéristique commune sans être déterminés

Un rassemblement d’objets déterminés et distincts partageant une caractéristique commune

Un rassemblement d’objets distincts sans caractéristique commune requise

Explication

Un ensemble rassemble des objets déterminés et distincts qui partagent au moins une caractéristique commune. L’absence de caractéristique commune, des objets indéterminés ou des répétitions ne respecte pas cette définition.

Answer

Un rassemblement d’objets déterminés et distincts partageant une caractéristique commune

Question 2

2. Quel ensemble décrit les entiers naturels dans cette définition ?

ℕ = {1 ; 2 ; 3 ; …}

ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3}

ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; …}

ℕ = {… ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; …}

Explication

Les entiers naturels sont définis par ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; …}, ce qui inclut zéro et se poursuit sans fin. Exclure zéro, inclure les négatifs ou tronquer la liste change l’ensemble défini.

Answer

ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; …}

Question 3

3. Quelle condition caractérise un nombre décimal dans cette définition ?

Il possède une écriture décimale infinie qui se répète périodiquement.

Il peut s’écrire comme une somme d’un nombre entier de termes égaux à 1.

Il peut s’écrire comme un entier relatif divisé par une puissance de 10.

Il peut s’écrire comme un quotient de deux entiers naturels non nuls.

Explication

Un nombre décimal s’écrit sous la forme $\frac{k}{10^n}$ , où $k$ est un entier relatif et $n$ un entier naturel. Un quotient de deux entiers décrit plus largement un nombre rationnel, qui peut ne pas avoir d’écriture décimale finie.

Answer

Il peut s’écrire comme un entier relatif divisé par une puissance de 10.

Question 4

4. Pourquoi le nombre $\frac{1}{3}$ n’est-il pas décimal ?

Son numérateur n’est pas un entier relatif, contrairement à la définition d’un nombre décimal.

Son développement décimal est périodique, ce qui empêche tout quotient d’entiers de le représenter.

Son dénominateur est supérieur à 10, alors qu’une fraction décimale doit avoir un dénominateur plus petit.

Aucune puissance de 10 n’est un multiple de 3, condition qui découlerait d’une écriture décimale finie.

Explication

Si $\frac{1}{3}=\frac{k}{10^n}$ , alors $10^n=3k$ , ce qui est impossible puisqu'aucune puissance de 10 n’est divisible par 3. Un développement périodique n’empêche pas un nombre d’être rationnel, mais ici il ne permet pas une écriture décimale finie.

Answer

Aucune puissance de 10 n’est un multiple de 3, condition qui découlerait d’une écriture décimale finie.

Question 5

5. Quel rôle joue la chaîne $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ dans la classification des nombres ?

Elle indique que chaque ensemble est inclus dans le suivant.

Elle classe les ensembles selon le nombre d’éléments qu’ils contiennent.

Elle montre que chaque ensemble contient le suivant.

Elle distingue les ensembles selon le signe de leurs éléments.

Explication

Cette chaîne exprime une inclusion successive : tout élément d’un ensemble appartient aussi aux ensembles situés à sa droite. Elle ne classe pas les nombres selon leur signe, car les ensembles de la chaîne se distinguent plutôt par les types de nombres qu’ils regroupent.

Answer

Elle indique que chaque ensemble est inclus dans le suivant.

Question 6

6. Si un nombre rationnel non nul est écrit sous la forme $\frac{p}{q}$ , quelle opération permet d’obtenir son inverse ?

Ajouter le numérateur et le dénominateur pour obtenir

\frac{p+q}{q}

.

Multiplier le numérateur et le dénominateur par

q

pour obtenir

\frac{pq}{q^2}

.

Échanger le numérateur et le dénominateur pour obtenir

\frac{q}{p}

.

Changer le signe du numérateur pour obtenir

\frac{-p}{q}

.

Explication

L’inverse de $\frac{p}{q}$ est $\frac{q}{p}$ , car leur produit vaut 1 lorsque le nombre est non nul. Changer le signe du numérateur donne l’opposé, et non l’inverse.

Answer

Échanger le numérateur et le dénominateur pour obtenir $$\frac{q}{p}$$.

Question 7

7. En quoi la notation en extension diffère-t-elle de la notation d’un ensemble vide ?

Elle représente l’ensemble par le nombre de ses éléments, sans accolades.

Elle énumère entre accolades les éléments de l’ensemble, séparés par des points-virgules.

Elle indique une propriété commune sans écrire les éléments de l’ensemble.

Elle désigne un ensemble sans éléments en utilisant des points-virgules.

Explication

La notation en extension présente explicitement les éléments d’un ensemble entre accolades, séparés par des points-virgules. À la différence de cette notation, l’ensemble vide ne contient aucun élément et se note {} ou ∅.

Answer

Elle énumère entre accolades les éléments de l’ensemble, séparés par des points-virgules.

Question 8

8. Pourquoi les entiers relatifs comprennent-ils des nombres négatifs en plus des entiers naturels ?

Parce qu’on leur ajoute les nombres décimaux compris entre zéro et un.

Parce qu’on leur ajoute les opposés des entiers naturels.

Parce qu’on leur ajoute les ensembles contenant un nombre fini d’éléments.

Parce qu’on leur ajoute les fractions dont le dénominateur vaut un.

Explication

L’ensemble des entiers relatifs est construit en réunissant les entiers naturels et leurs opposés, ce qui inclut les entiers négatifs. Les fractions ne font pas partie de cet ajout : elles relèvent des nombres rationnels.

Answer

Parce qu’on leur ajoute les opposés des entiers naturels.

QCM : Ensembles de nombres et fractions (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quel rassemblement peut être appelé un ensemble au sens mathématique ?

2. Quel ensemble décrit les entiers naturels dans cette définition ?

3. Quelle condition caractérise un nombre décimal dans cette définition ?

4. Pourquoi le nombre $\frac{1}{3}$ n’est-il pas décimal ?

5. Quel rôle joue la chaîne $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ dans la classification des nombres ?

6. Si un nombre rationnel non nul est écrit sous la forme $\frac{p}{q}$ , quelle opération permet d’obtenir son inverse ?

7. En quoi la notation en extension diffère-t-elle de la notation d’un ensemble vide ?

8. Pourquoi les entiers relatifs comprennent-ils des nombres négatifs en plus des entiers naturels ?

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Questions et réponses du QCM

1. Quel rassemblement peut être appelé un ensemble au sens mathématique ?

2. Quel ensemble décrit les entiers naturels dans cette définition ?

3. Quelle condition caractérise un nombre décimal dans cette définition ?

4. Pourquoi le nombre 13\frac{1}{3}31​ n’est-il pas décimal ?

5. Quel rôle joue la chaîne N⊂Z⊂D⊂Q\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}N⊂Z⊂D⊂Q dans la classification des nombres ?

6. Si un nombre rationnel non nul est écrit sous la forme pq\frac{p}{q}qp​, quelle opération permet d’obtenir son inverse ?

7. En quoi la notation en extension diffère-t-elle de la notation d’un ensemble vide ?

8. Pourquoi les entiers relatifs comprennent-ils des nombres négatifs en plus des entiers naturels ?

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5. Quel rôle joue la chaîne $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$ dans la classification des nombres ?

6. Si un nombre rationnel non nul est écrit sous la forme $\frac{p}{q}$ , quelle opération permet d’obtenir son inverse ?