Fiche de révision : Ensembles de nombres et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Les ensembles de nombres
2. Notations et inclusions
3. Intervalles de nombres réels
4. Inégalités et intervalles
5. Valeur absolue et distance
6. Réunion et intersection
7. Ensemble vide et singleton

📖 1. Les ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : ensemble des entiers positifs ou nuls : N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}
• Entiers relatifs : ensemble des entiers positifs, négatifs et de zéro : Z = {… ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; …}
• Nombres décimaux : ensemble des nombres positifs ou négatifs qui possèdent un nombre fini de chiffres après la virgule
• Nombres rationnels : ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$, avec a entier relatif et b entier naturel non nul
• Nombres réels : ensemble des nombres rationnels et irrationnels

💡 Astuce mémo

Inclusion croissante : N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Notations et inclusions

★ À maîtriser

• Le symbole ∈ signifie « appartient » et relie un nombre réel à un ensemble, tandis que ∉ signifie « n’appartient pas ».

• Le symbole ⊂ signifie « est inclus dans » et relie deux ensembles, par exemple N ⊂ Z.

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la chaîne N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Compléments

• 1,3 appartient à D et à Q car 1,3 = 13/10, mais 1,3 n’appartient pas à Z.

💡 Astuce mémo

∈ relie un nombre à un ensemble, tandis que ⊂ relie deux ensembles

📖 3. Intervalles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : L’ensemble des nombres réels R est l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée.

★ À maîtriser

📌 Dans la notation d’un intervalle, un crochet tourné vers l’intérieur signifie que la borne appartient à l’intervalle, tandis qu’un crochet tourné vers l’extérieur signifie qu’elle n’y appartient pas.

Compléments

• La longueur d’un intervalle borné de bornes a et b est la différence entre ses deux bornes : $b-a$.

• L’encadrement 3 ≤ x ≤ 6 se note x ∈ [3 ; 6] et l’intervalle a pour longueur 6 - 3 = 3.

💡 Astuce mémo

Crochet tourné vers l’intérieur : la borne entre dans l’intervalle

📖 4. Inégalités et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle non borné : ensemble des nombres réels supérieurs ou inférieurs à un nombre donné

★ À maîtriser

• L’ensemble des réels supérieurs ou égaux à 4 se note [4 ; +∞[ et correspond à x ≥ 4.

• Pour résoudre une inéquation, on traduit les conditions sur x en encadrement puis on représente l’ensemble des solutions par un intervalle.

Compléments

• L’ensemble des réels positifs se note R⁺ = [0 ; +∞[ et l’ensemble des réels négatifs se note R⁻ = ]-∞ ; 0].

📖 5. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : sa partie positive

★ À maîtriser

• La distance entre deux points A et B d’abscisses respectives a et b vaut $|a-b|$.

• Résoudre |x - 5| ≤ 2 revient à chercher les nombres dont la distance à 5 est inférieure ou égale à 2, ce qui donne x ∈ [3 ; 7].

• Résoudre |x - 5| = 2 revient à chercher les nombres situés à une distance exactement égale à 2 de 5, soit x = 3 ou x = 7.

Compléments

• Si A a pour abscisse -1 et B a pour abscisse 3, alors leur distance vaut |-1 - 3| = |-4| = 4.

💡 Astuce mémo

Distance sur la droite réelle → valeur absolue de la différence

📖 6. Réunion et intersection

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : ensemble des nombres réels qui appartiennent à la fois à I et à J, notée I ∩ J
• Réunion : ensemble des nombres réels qui appartiennent au moins à l’un des deux intervalles, notée I ∪ J

📝 Points essentiels

• Si I = [-1 ; 4[ et J = ]2 ; +∞[, alors I ∩ J = ]2 ; 4[ et I ∪ J = [-1 ; +∞[.

• La condition x > 0 ou x < -3 se traduit par x ∈ ]-∞ ; -3[ ∪ ]0 ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Intersection = à la fois ; réunion = au moins l’un des deux

📖 7. Ensemble vide et singleton

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble vide : un ensemble qui ne contient aucun élément
• Singleton : un ensemble qui contient un seul élément et se note {a}

📝 Points essentiels

• On a ]-∞ ; 3[ ∩ [3 ; 5] = ∅, car aucun réel n’appartient simultanément aux deux intervalles.

• On a ]-∞ ; 6] ∩ [6 ; 7] = {6}, car 6 appartient aux deux intervalles.

💡 Astuce mémo

∅ contient zéro élément, alors que {a} contient un seul élément

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles numériques