Fiche de révision : Ensembles de nombres et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles numériques et inclusions
2. Appartenance et notations
3. Intervalles bornés et non bornés
4. Inéquations et représentation
5. Valeur absolue et distances
6. Réunion et intersection
7. Ensemble vide et singleton

📖 1. Ensembles numériques et inclusions

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Ensemble des entiers positifs ou nuls : N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}.
• Entiers relatifs : Ensemble des entiers positifs et négatifs : Z = {… ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; …}.
• Nombres décimaux : Ensemble des nombres positifs ou négatifs ayant un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Nombres rationnels : Ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction a/b, avec a entier relatif et b entier naturel non nul.
• Nombres réels : Ensemble formé des nombres rationnels et des nombres irrationnels.

📝 Points essentiels

📌 Les ensembles numériques sont inclus les uns dans les autres selon la chaîne N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Appartenance et notations

★ À maîtriser

• Le symbole ∈ signifie « appartient » et relie un réel à un ensemble, tandis que ∉ signifie « n’appartient pas ».

Compléments

• On a 1,3 ∉ Z, mais 1,3 ∈ D et 1,3 ∈ Q car 1,3 = 13/10.

• Le nombre 1/3 n’appartient pas à D car son écriture décimale 0,3333… comporte une infinité de chiffres après la virgule.

💡 Astuce mémo

∈ appartient, ∉ n’appartient pas, ⊂ est inclus dans

📖 3. Intervalles bornés et non bornés

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Ensemble des abscisses des points d’une droite graduée.
• Intervalle non borné : Ensemble de tous les nombres réels supérieurs ou inférieurs à un nombre donné.

📝 Points essentiels

📌 Dans un intervalle, une borne appartient à l’intervalle si le crochet est tourné vers l’intérieur et n’y appartient pas si le crochet est tourné vers l’extérieur.

📐 Formule - La longueur d’un intervalle borné est la différence entre ses deux bornes : $L=b-a$.

💡 Astuce mémo

Un crochet tourné vers l’intérieur accueille la borne ; tourné vers l’extérieur, il la laisse dehors.

📖 4. Inéquations et représentation

📝 Points essentiels

📌 Les réels supérieurs ou égaux à 4 sont les solutions de x ≥ 4 et se notent [4 ; +∞[.

📌 L’inéquation |x - 5| ≤ 2 a pour ensemble solution S = [3 ; 7].

💡 Astuce mémo

Traduire une inéquation → repérer les réels solutions → écrire l’intervalle

📖 5. Valeur absolue et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Pour tout réel a, la valeur absolue |a| est sa partie positive.
• Distance entre deux nombres : La distance entre deux points A et B d’abscisses respectives a et b vaut |a - b|.

★ À maîtriser

📌 L’équation |x - 5| = 2 a pour solutions x = 3 et x = 7, donc S = {3 ; 7}.

Compléments

• La distance entre les abscisses -1 et 3 vaut |-1 - 3| = |-4| = 4.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance d’un nombre à zéro.

📖 6. Réunion et intersection

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des réels qui appartiennent à la fois à I et à J.
• Réunion : Ensemble des réels qui appartiennent au moins à l’un des deux intervalles.

📝 Points essentiels

• Pour I = [-1 ; 4[ et J = ]2 ; +∞[, on a I ∩ J = ]2 ; 4[ et I ∪ J = [-1 ; +∞[.

📌 L’ensemble des réels positifs se note R+ = [0 ; +∞[, tandis que l’ensemble des réels négatifs se note R− = ]-∞ ; 0[ ; 0 est positif et négatif.

💡 Astuce mémo

Intersection = ET ; réunion = OU

📖 7. Ensemble vide et singleton

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble vide : Ensemble qui ne contient aucun élément.
• Singleton : Ensemble qui contient un seul élément a.

📝 Points essentiels

• On a ]-∞ ; 6] ∩ [6 ; 7] = {6}, car les deux intervalles ont seulement 6 en commun.

• On a ]-∞ ; 1[ ∩ ]2 ; +∞[ = ∅, car ces deux intervalles n’ont aucun élément commun.

💡 Astuce mémo

∅ ne contient aucun élément, tandis que {a} en contient exactement un.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles numériques