Fiche de révision : Ensembles de nombres usuels

📋 Plan du Cours

1. Construction des entiers naturels
2. Opérations sur les naturels
3. Divisibilité et division euclidienne
4. Entiers relatifs et divisibilité
5. Nombres rationnels et décimaux
6. Structure et propriétés des réels
7. Valeur absolue et distance
8. Intervalles et bornes
9. Applications additives continues

📖 1. Construction des entiers naturels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Ensemble qui contient 0, contient le successeur n+1 de tout n ∈ N et est infini.

📝 Points essentiels

📌 L’ordre sur N est total : pour tous a,b ∈ N, a ≤ b ou b ≤ a.

📌 Toute partie non vide de N admet un plus petit élément, ce qui constitue la propriété fondamentale utilisée par le principe de récurrence.

💡 Astuce mémo

0 → successeur n+1 → ensemble infini

📖 2. Opérations sur les naturels

★ À maîtriser

📐 Formule — L’addition sur N est définie par $m+0=m$ et $m+(n+1)=(m+n)+1$.

📐 Formule — La multiplication sur N est définie par $m\times0=0$ et $m\times(n+1)=m\times n+m$.

Compléments

• Dans l’addition sur N, 0 est l’élément neutre et l’addition est associative.

• Pour la multiplication sur N, 0 est absorbant, 1 est l’élément neutre et (N,+) est un monoïde.

💡 Astuce mémo

Addition : 0 est neutre ; multiplication : 0 est absorbant et 1 est neutre

📖 3. Divisibilité et division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Un entier naturel a est divisible par un entier naturel b s’il existe k ∈ N tel que a=kb ; on note alors b|a et a est un multiple de b.

📝 Points essentiels

📌 Pour a,b ∈ N avec b ≥ 1, il existe un unique couple (q,r) ∈ N² tel que $a=bq+r$ et $0\le r<b$.

📌 Pour a,b ∈ N avec b ≠ 0, b|a si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, ce qui s’écrit en Python a % b = 0.

💡 Astuce mémo

a = bq + r avec 0 ≤ r < b

📖 4. Entiers relatifs et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : Ensemble formé des entiers naturels et de leurs opposés.

★ À maîtriser

• (Z,+) est un groupe abélien et (Z,×) est un anneau intègre : pour tous a,b ∈ Z, ab=0 implique a=0 ou b=0.

Compléments

• Les seuls éléments inversibles de Z sont 1 et −1.

💡 Astuce mémo

Dans Z, les inversibles sont 1 et −1, contrairement à N où seul 1 est inversible

📖 5. Nombres rationnels et décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Ensemble $Q=\left\{\frac{p}{q}\mid p\in Z,\ q\in N\setminus\{0\}\right\}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour x₁=p₁/q₁ et x₂=p₂/q₂, leur somme est $x_1+x_2=\frac{p_1q_2+p_2q_1}{q_1q_2}$ et leur produit est $x_1x_2=\frac{p_1p_2}{q_1q_2}$.

• Les nombres √2, √3, e et π ne sont pas rationnels.

Compléments

• On peut choisir comme dénominateur commun le plus petit multiple commun des dénominateurs, c’est-à-dire ppcm(q₁,q₂).

• L’écriture décimale 0,8999… est égale à 1, car si x=0,8999…, alors 10x−x=9 et donc x=1.

💡 Astuce mémo

Dénominateur non nul → fraction rationnelle → opérations dans Q

📖 6. Structure et propriétés des réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Ensemble qui complète Q avec les limites de suites de nombres rationnels.

★ À maîtriser

• Les inclusions entre les ensembles usuels sont N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

• R est un corps totalement ordonné dont l’ordre est compatible avec l’addition et la multiplication des nombres positifs.

Compléments

📌 R est archimédien : pour tous x,y ∈ R avec y>0, il existe n ∈ N tel que x≤ny.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

📖 7. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : Pour tout x ∈ R, il existe un unique n ∈ Z tel que n≤x<n+1 ; ce n est noté ⌊x⌋.
• Valeur absolue : Pour tout x ∈ R, la valeur absolue vérifie $|x|=x$ si x≥0 et $|x|=-x$ si x<0.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La distance entre x et y est définie par $d(x,y)=|y-x|$.

📐 Formule — L’inégalité triangulaire s’écrit $|x+y|\le|x|+|y|$ et, pour une distance, $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance d’un nombre à zéro

📖 8. Intervalles et bornes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalles : Pour a<b, les intervalles de R comprennent [a,b], ]a,b], [a,b[, ]a,b[, [a,+∞[, ]a,+∞[, ]−∞,b] et ]−∞,b[.
• Majorant : Une partie A de R est majorée s’il existe g ∈ R tel que tout x ∈ A vérifie x≤g ; g est alors un majorant de A.
• Maximum : Une partie non vide A de R admet un maximum M si M∈A et si tout x∈A vérifie x≤M.

📝 Points essentiels

• La partie ]0,1[ est non vide et bornée, mais elle n’admet ni minimum ni maximum.

💡 Astuce mémo

Majorant/minorant peuvent être extérieurs à l’ensemble, maximum/minimum doivent lui appartenir

📖 9. Applications additives continues

★ À maîtriser

• Pour une fonction additive continue f:R→R, on montre successivement que f(nx)=nf(x) pour n∈N, puis f(m)=am pour m∈Z, f(x)=ax pour x∈Q, et enfin f(x)=ax pour x∈R.

📐 Formule — Si f:R→R est continue et additive, il existe a∈R tel que, pour tout x∈R, $f(x)=ax$, avec a=f(1).

Compléments

📐 Formule — Pour tout x∈R, la suite $u_n=\frac{\lfloor10^n x\rfloor}{10^n}$ est rationnelle et converge vers x, ce qui permet d’utiliser la continuité de f.

💡 Astuce mémo

N → Z → Q → R : f(x) = ax

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions et structures algébriques