Fiche de révision : Ensembles et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Inclusions entre ensembles
3. Intervalles et appartenance
4. Intersection et réunion

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les entiers naturels, notés N, sont les entiers positifs ou nuls : 0, 1, 2, 3
• Entiers relatifs : Ensemble de tous les entiers positifs et négatifs.
• Nombres décimaux : Nombres ayant un nombre fini de chiffres après la virgule et pouvant s’écrire sous la forme a/10ⁿ, où a et n sont des entiers.
• Nombres rationnels : Nombres qui peuvent s’écrire sous la forme a/b, où a et b sont des entiers.

📝 Points essentiels

• N* est l’ensemble des entiers naturels privé de 0, soit {1 ; 2 ; 3 ; …}.

• L’ensemble des nombres réels est noté R.

📖 2. Inclusions entre ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion : La notation N ⊂ Z signifie que l’ensemble N est inclus dans l’ensemble Z.

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres selon la chaîne N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

📖 3. Intervalles et appartenance

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : Ensemble des réels x vérifiant a ≤ x ≤ b, pour a et b réels tels que a < b.
• Intervalle ouvert : Ensemble des réels x vérifiant a < x < b, pour a et b réels tels que a < b.

★ À maîtriser

• Les intervalles bornés correspondent respectivement aux conditions suivantes :
  • [a, b] : a ≤ x ≤ b
  • ]a, b] : a < x ≤ b
  • [a, b[ : a ≤ x < b
  • ]a, b[ : a < x < b

Compléments

• Sur un axe gradué représentant les réels, chaque point est associé à un unique réel appelé son abscisse.

• Dans un intervalle de bornes a et b, a et b sont les bornes et b − a est son amplitude.

• Le symbole ∈ signifie « appartient à », tandis que ∉ signifie « n’appartient pas à »; −∞ et +∞ se lisent « moins l’infini » et « plus l’infini ».

• L’inégalité −2 ≤ x ≤ 4 peut s’écrire x ∈ [−2 ; 4].

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue.

📖 4. Intersection et réunion

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des nombres appartenant à la fois aux intervalles A et B.
• Réunion : Ensemble des nombres appartenant à A ou à B, ou aux deux.

📝 Points essentiels

• Pour A = [−2 ; 4] et B = ]−4 ; 1[, on obtient A ∩ B = [−2 ; 1[ et A ∪ B = ]−4 ; 4].

💡 Astuce mémo

A ∩ B garde le commun ; A ∪ B rassemble l’un ou l’autre.