Fiche de révision : Limites de suites

📋 Plan du Cours

1. Limites infinies des suites
2. Convergence et limites finies
3. Déterminer un rang seuil
4. Règles de somme et produit
5. Règles de quotient et indéterminations
6. Lever une indétermination

📖 1. Limites infinies des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite égale à plus l’infini : Une suite $(u_n)$ admet pour limite $+infini$ si, pour tout réel $A$, il existe un rang $n_0$ tel que, pour tout $n\ge n_0$, $u_n>A$.
• Limite égale à moins l’infini : Une suite $(u_n)$ admet pour limite $-\infty$ si, pour tout réel $B$, ses termes vérifient $u_n<B$ à partir d’un certain rang.

📝 Points essentiels

• Les suites de termes généraux $n$, $n^2$, $n^k$ pour $k\in\mathbb{N}^*$ et $\sqrt n$ tendent vers $+\infty$.

📖 2. Convergence et limites finies

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Une suite $(u_n)$ admet pour limite le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous ses termes à partir d’un certain rang.
• Convergence : Une suite qui admet une limite finie est dite convergente.
• Divergence : Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente.

📝 Points essentiels

• La suite de terme général $(-1)^n$ alterne entre $-1$ et $1$ et n’admet ni limite finie ni limite infinie.

💡 Astuce mémo

Converger vers une valeur finie n’est pas tendre vers l’infini ; diverger n’implique pas tendre vers l’infini.

📖 3. Déterminer un rang seuil

★ À maîtriser

• Pour trouver un rang à partir duquel une suite croissante de limite $+\infty$ dépasse un réel $A$, on initialise le rang et le terme, puis on augmente le rang et calcule les termes jusqu’à ce que le terme atteigne ou dépasse $A$.

Compléments

• Pour l’exemple défini par $u_0=2$ et $u_{n+1}=4u_n+10$, l’algorithme appliqué avec $A=1000$ renvoie le rang $n=4$.

💡 Astuce mémo

Initialiser, tester le seuil, incrémenter le rang et calculer le terme.

📖 4. Règles de somme et produit

📝 Points essentiels

• La limite d’une somme est la somme des limites lorsque les deux limites sont finies ; une limite infinie additionnée à une limite finie conserve la limite infinie.

• Une somme de limites $+\infty$ et $-\infty$ est une forme indéterminée, dont la limite ne peut pas être déduite de ces seules limites.

• Le produit de deux limites finies est leur produit ; le produit d’une limite infinie par une limite non nulle a un signe déterminé par la règle des signes.

• Le produit d’une suite tendant vers $0$ par une suite tendant vers $+\infty$ ou $-\infty$ est une forme indéterminée.

📖 5. Règles de quotient et indéterminations

📝 Points essentiels

• Si le dénominateur tend vers une limite finie non nulle, le quotient tend vers le quotient des limites.

• Si le numérateur tend vers une limite non nulle et le dénominateur vers $0$ en gardant un signe constant, le quotient tend vers l’infini avec un signe déterminé par les signes du numérateur et du dénominateur.

• Les formes indéterminées des opérations sur les limites sont $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\infty/\infty$ et $0/0$.

📖 6. Lever une indétermination

★ À maîtriser

• Pour lever une indétermination dans un polynôme, on factorise par la puissance de $n$ la plus élevée afin d’isoler un facteur dont la limite peut être déterminée.

Compléments

• Pour déterminer la limite d’une différence de racines, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l’expression conjuguée afin de transformer la différence en quotient.

• Pour tout entier naturel non nul $n$, $\sqrt{n+2}-\sqrt n=\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt n}$, donc cette différence tend vers $0$.