QCM : Limites de suites (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une suite dont on veut établir la limite +∞+\infty, quelle condition doit-on vérifier pour un réel AA et un rang n0n_0 ?

Pour tout AA, il existe n0n_0 tel que, pour tout n≥n0n\ge n_0, un>Au_n>A.
Il existe un réel AA tel que, pour tout n≥n0n\ge n_0, un>Au_n>A.
Pour tout AA, il existe n0n_0 tel que, pour tout n≥n0n\ge n_0, un<Au_n<A.
Pour tout AA, il existe n0n_0 tel que, pour tout n<n0n<n_0, un>Au_n>A.

Pour tout $$A$$, il existe $$n_0$$ tel que, pour tout $$n\ge n_0$$, $$u_n>A$$.

Explication

La limite +∞+\infty signifie que la suite dépasse tout seuil réel à partir d’un certain rang. L’inégalité un<Au_n<A inverse le sens, la condition n<n0n<n_0 porte sur les rangs précédents, et un seuil fixe ne suffit pas à établir la définition.

2. Une suite tend vers −∞-\infty si ses termes finissent par être inférieurs à quelle sorte de seuil ?

À un réel BB fixé, les termes restent en dessous de ce seuil.
À tout réel BB, les termes finissent par dépasser ce seuil.
À tout réel BB, à partir d’un certain rang.
À tout réel AA, les termes finissent par dépasser ce seuil.

À tout réel $$B$$, à partir d’un certain rang.

Explication

Tendre vers −∞-\infty signifie que, pour tout réel BB choisi, les termes vérifient un<Bu_n<B à partir d’un certain rang. Dépasser le seuil correspond à une tendance vers +∞+\infty, tandis qu’une borne fixe ne garantit pas le comportement requis.

3. Une suite a pour terme général un=nu_n=\sqrt{n}. Quel comportement a-t-elle lorsque nn tend vers +∞+\infty ?

Elle tend vers +∞+\infty.
Elle n’admet pas de limite, car elle alterne.
Elle tend vers une limite finie strictement positive.
Elle tend vers 00.

Elle tend vers $$+\infty$$.

Explication

La suite de terme général n\sqrt{n} tend vers +∞+\infty, même si sa croissance est plus lente que celle de nn. La limite 00 correspond notamment à une suite inverse, et une suite de racines ne présente pas d’alternance.

4. Une suite est censée avoir pour limite finie ℓ\ell. Quelle propriété de ses termes caractérise cette limite ?

Tout intervalle ouvert situé au-dessus de ℓ\ell contient ses termes à partir d’un certain rang.
Tout intervalle ouvert contenant ℓ\ell contient tous ses termes à partir d’un certain rang.
Tout intervalle ouvert contenant ℓ\ell contient au moins un terme à partir d’un certain rang.
Tout intervalle ouvert contenant ℓ\ell contient chacun de ses termes dès le départ.

Tout intervalle ouvert contenant $$\ell$$ contient tous ses termes à partir d’un certain rang.

Explication

Une limite finie signifie que les termes finissent par appartenir à tout intervalle ouvert contenant ℓ\ell. Cette propriété ne demande ni une appartenance dès le début, ni le dépassement de seuils, ni la présence d’un seul terme dans l’intervalle.

5. Une suite définie par un=(−1)nu_n=(-1)^n alterne entre −1-1 et 11. Comment la classer quant à l’existence d’une limite ?

Elle est divergente et n’a ni limite finie ni limite infinie.
Elle converge vers 11.
Elle converge vers 00.
Elle est divergente et tend vers +∞+\infty.

Elle est divergente et n’a ni limite finie ni limite infinie.

Explication

Les valeurs −1-1 et 11 continuent d’alterner : elles ne se rapprochent d’aucun réel et ne deviennent pas non plus arbitrairement grandes en valeur absolue dans un même sens. La divergence ne signifie donc pas nécessairement qu’une suite tend vers une limite infinie.

6. Une suite croissante tend vers +∞+\infty et l’on cherche le premier rang à partir duquel son terme atteint un réel AA. Quelle procédure permet de déterminer ce rang ?

Initialiser le rang et le terme, puis s’arrêter lorsque le terme devient inférieur à A
Calculer les termes successifs sans modifier le rang, puis comparer le dernier à A
Commencer par un rang élevé, puis le diminuer jusqu’à ce que le terme atteigne A
Initialiser le rang et le terme, puis les mettre à jour jusqu’à ce que le terme atteigne ou dépasse A

Initialiser le rang et le terme, puis les mettre à jour jusqu’à ce que le terme atteigne ou dépasse A

Explication

On initialise le rang et le terme, puis on augmente le rang et calcule les termes successifs tant que le terme reste inférieur à A. S’arrêter sous A inverse le critère, tandis que diminuer le rang ou ne pas le mettre à jour ne suit pas la procédure.

7. Pour la suite définie par u0=2u_0=2 et un+1=4un+10u_{n+1}=4u_n+10, quel rang l’algorithme renvoie-t-il pour le seuil A=1000A=1000 ?

Le rang n=3n=3
Le rang n=1000n=1000
Le rang n=4n=4
Le rang n=5n=5

Le rang $$n=4$$

Explication

L’algorithme renvoie le rang 4 : les termes obtenus sont u1=18u_1=18, u2=82u_2=82, u3=338u_3=338 et u4=1362u_4=1362, qui dépasse 1000. Le rang 3 est encore sous le seuil, tandis que 5 décale le résultat et 1000 confond le seuil avec un indice.

8. Une suite tend vers +∞+\infty et une autre vers le réel fini 7. Quelle limite peut-on attribuer à leur somme ?

Une limite finie égale à la somme des limites
Une forme indéterminée
+∞+\infty
7

$$+\infty$$

Explication

L’addition d’une limite finie à une limite +∞+\infty conserve la limite infinie. Une forme indéterminée concerne notamment la somme de +∞+\infty et −∞-\infty, tandis que 7 ne peut pas être la limite de cette somme.

9. Deux suites tendent respectivement vers +∞+\infty et −∞-\infty. Que peut-on conclure sur la limite de leur somme à partir de ces seules informations ?

La somme tend vers −∞-\infty selon la règle des signes du produit
La forme est indéterminée et la limite ne se déduit pas de ces seules limites
La somme tend vers +∞+\infty en conservant le signe positif
La somme tend vers 0 par annulation des deux limites

La forme est indéterminée et la limite ne se déduit pas de ces seules limites

Explication

La somme de +∞+\infty et −∞-\infty est une forme indéterminée : les limites des deux suites seules ne permettent pas de prévoir celle de leur somme. L’annulation automatique ou le choix d’un signe ignore cette indétermination, et la règle des signes s’applique au produit.

10. Une suite tend vers −3-3 et une autre vers +∞+\infty. Quelle est la limite de leur produit ?

Une forme indéterminée
−∞-\infty
+∞+\infty
−3-3

$$-\infty$$

Explication

Le facteur tend vers un réel non nul négatif et l’autre vers +∞+\infty ; la règle des signes donne donc un produit tendant vers −∞-\infty. Le signe positif inverse le signe du facteur fini, −3-3 ignore le facteur infini, et la forme indéterminée concerne un facteur de limite nulle.

11. Dans une situation nouvelle, une suite tend vers 0 et l’autre vers −∞-\infty. Que peut-on conclure sur leur produit à partir de ces seules limites ?

Le produit est une forme indéterminée
Le produit tend vers 0
Le produit tend vers −∞-\infty
Le produit tend vers +∞+\infty

Le produit est une forme indéterminée

Explication

Le produit d’une suite tendant vers 0 par une suite tendant vers −∞-\infty est une forme indéterminée : le comportement dépend des suites elles-mêmes. Appliquer directement le signe d’un facteur non nul, conclure à 0 ou ignorer le facteur nul ne permet pas de déduire la limite.

12. Une suite a pour numérateur une limite égale à −6-6 et pour dénominateur une limite égale à 33. Quelle est la limite de leur quotient ?

−2-2
−∞-\infty
22
−3-3

$$-2$$

Explication

Lorsque le dénominateur tend vers une limite finie non nulle, le quotient tend vers le quotient des limites : −63=−2\frac{-6}{3}=-2. 22 oublie le signe du numérateur, −∞-\infty traite à tort le dénominateur comme nul et −3-3 ne calcule pas le quotient des limites.

13. Le numérateur d’un quotient tend vers −4-4 et son dénominateur tend vers 00 en restant négatif. Vers quelle limite tend le quotient ?

−∞-\infty
+∞+\infty
Une limite finie négative
00

$$+\infty$$

Explication

Le numérateur est négatif et le dénominateur reste négatif tout en tendant vers zéro : le quotient est positif et sa valeur devient infinie. −∞-\infty néglige le signe du numérateur, 00 applique à tort la règle d’un numérateur fini sur un dénominateur non nul, et une limite finie négative ne tient pas compte de la divergence.

14. Parmi les expressions suivantes, laquelle est une forme indéterminée dans les opérations sur les limites ?

∞+∞\infty+\infty
0×00\times 0
∞−∞\infty-\infty
∞×∞\infty\times\infty

$$\infty-\infty$$

Explication

La différence de deux quantités qui tendent vers l’infini est une forme indéterminée, car les vitesses de divergence peuvent influer sur le résultat. ∞+∞\infty+\infty, 0×00\times0 et ∞×∞\infty\times\infty ne figurent pas parmi les quatre formes indéterminées étudiées.

15. Pour étudier la limite du polynôme Pn=4n3−2n2+7P_n=4n^3-2n^2+7 quand nn tend vers +infty+infty, quelle transformation permet d’isoler un facteur dont la limite est déterminable ?

Écrire Pn=n(4n2−2n+7n)P_n=n\left(4n^2-2n+\frac{7}{n} \right)
Écrire Pn=7(4n37−2n27+1)P_n=7\left(\frac{4n^3}{7}-\frac{2n^2}{7}+1\right)
Écrire Pn=n3(4−2n+7n3)P_n=n^3\left(4-\frac{2}{n}+\frac{7}{n^3}\right)
Écrire Pn=n2(4n−2+7n2)P_n=n^2\left(4n-2+\frac{7}{n^2}\right)

Écrire $$P_n=n^3\left(4-\frac{2}{n}+\frac{7}{n^3}\right)$$

Explication

Pour lever l’indétermination d’un polynôme, on factorise par sa plus grande puissance de nn, ici n3n^3, afin d’isoler un facteur entre parenthèses dont la limite est déterminable. Les factorisations par nn, par 77 ou par n2n^2 ne suivent pas cette méthode.

16. Pour n>0n>0, quelle expression obtenue en rationalisant n+5−n\sqrt{n+5}-\sqrt n permet de conclure directement que cette différence tend vers zéro ?

5n+5+n\frac{5}{\sqrt{n+5}+\sqrt n}
5n+5−n\frac{5}{\sqrt{n+5}-\sqrt n}
n+5+n5\frac{\sqrt{n+5}+\sqrt n}{5}
5n+5+n−5\frac{5}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n-5}}

$$\frac{5}{\sqrt{n+5}+\sqrt n}$$

Explication

La multiplication par l’expression conjuguée transforme la différence en (n+5)−nn+5+n=5n+5+n\frac{(n+5)-n}{\sqrt{n+5}+\sqrt n}=\frac{5}{\sqrt{n+5}+\sqrt n}; le dénominateur tend vers l’infini, donc la différence tend vers zéro. Le dénominateur en différence ne résulte pas de la conjugaison, l’expression inversée est réciproque, et n−5\sqrt{n-5} ne correspond pas à la différence initiale.

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Quelle condition définit une suite $(u_n)$ de limite égale à $+\text{infini}$ ?

Pour tout réel $A$, il existe un rang $n_0$ tel que, pour tout $n\ge n_0$, $u_n>A$.

Quelle condition définit une suite $(u_n)$ de limite égale à $-\text{infini}$ ?

Pour tout réel $B$, ses termes vérifient $u_n<B$ à partir d’un certain rang.

Vers quelle limite tend la suite de terme général $n^k$, pour $k\in\mathbb{N}^*$ ?

Elle tend vers $+\infty$.

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