Flashcards : Équations différentielles — 27 cartes

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1Question

Comment s'écrit une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 1 ?

Réponse

$a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0$ avec $a(t)\neq 0$ sur $\mathbb{R}$ .

2Question

Quelle est la forme générale des solutions de l'équation homogène d'ordre 1 ?

Réponse

$y_0(t)=k\exp\left(-\int^t\frac{b(x)}{a(x)}\,dx\right)$ avec $k\in\mathbb{R}$ .

3Question

Comment s'écrit une équation différentielle linéaire d'ordre 1 avec second membre ?

Réponse

$a(t)y'(t)+b(t)y(t)=f(t)$ avec $a(t)\neq 0$ .

4Question

Quelle est la forme de la solution générale d'une équation linéaire d'ordre 1 avec second membre ?

Réponse

La somme de la solution générale homogène et d'une solution particulière, soit $y(t)=y_0(t)+y_p(t)$ .

5Question

Quelle solution particulière cherche-t-on si le second membre est polynomial-exponentiel ?

Réponse

Une solution particulière du même type polynomial-exponentiel.

6Question

En quoi consiste la méthode de variation de la constante ?

Réponse

Remplacer la constante par une fonction et la déterminer par substitution.

7Question

Comment obtient-on une solution particulière pour un second membre somme $f_1(t)+f_2(t)$ ?

Réponse

En sommant les solutions particulières associées à $f_1$ et $f_2$ .

8Question

Qu'impose la méthode de séparation des variables en équations différentielles ?

Réponse

Isoler les termes en $y$ avec $dy$ d'un côté et ceux en $t$ avec $dt$ de l'autre.

9Question

Quelle est la dernière étape après avoir séparé les variables dans une équation différentielle ?

Réponse

Intégrer les deux membres séparés.

10Question

Quelle est l'équation caractéristique associée à $ay''+by'+cy=0$ ?

Réponse

$ar^2+br+c=0$

11Question

Quelles sont les solutions si $ar^2+br+c=0$ a deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ ?

Réponse

$y(t)=k_1e^{r_1t}+k_2e^{r_2t}$

12Question

Quelles sont les solutions si les racines sont $r_1=\alpha+i\omega$ et $r_2=\alpha - i\omega$ ?

Réponse

$y(t)=(k_1\cos(\omega t)+k_2\sin(\omega t))e^{\alpha t}$

13Question

Quelles sont les solutions si l'équation caractéristique a une racine réelle double $r_1$ ?

Réponse

$y(t)=(k_1t+k_2)e^{r_1t}$

14Question

Quelle forme générale a une solution particulière si $f(t)=P(t)e^{\lambda t}$ ?

Réponse

$y_p(t)=t^mQ(t)e^{\lambda t}$ avec $Q$ polynôme du même degré que $P$ .

15Question

Quelle valeur prend $m$ dans $y_p(t)=t^mQ(t)e^{\lambda t}$ si $\lambda$ est une racine double ?

Réponse

$m=2$ .

16Question

Quelle valeur prend $m$ dans $y_p(t)=t^mQ(t)e^{\lambda t}$ si $\lambda$ est une racine simple ?

Réponse

$m=1$ .

17Question

Quelle valeur prend $m$ dans $y_p(t)=t^mQ(t)e^{\lambda t}$ si $\lambda$ n'est pas racine ?

Réponse

$m=0$ .

18Question

Quelles sont les étapes pour résoudre une équation linéaire d'ordre 1 avec second membre ?

Réponse

Résoudre l'équation homogène, chercher une solution particulière, puis additionner les deux solutions.

19Question

Quelle est la solution particulière affine de $y'+3y=t$ ?

Réponse

$y_p(t)=\frac{1}{3}t-\frac{1}{9}$ .

20Question

Quelle est la solution générale de $y'+3y=t$ ?

Réponse

$y(t)=ke^{-3t}+\frac{1}{3}t-\frac{1}{9}$ .

21Question

Quelle solution particulière de $y'+2y=\cos(t)$ est donnée ?

Réponse

$y_p(t)=\frac{2}{5}\cos(t)+\frac{1}{5}\sin(t)$ .

22Question

Quelle est la solution générale de $y'+2y=\cos(t)$ ?

Réponse

$y(t)=ke^{-2t}+\frac{2}{5}\cos(t)+\frac{1}{5}\sin(t)$ .

23Question

Quelle est la solution de l'équation $y'+e^te^{-y}=0$ avec $y(0)=0$ ?

Réponse

$y(t)=\ln(2-e^t)$ .

24Question

Quelle est la solution de l'équation $y'=\frac{t}{1+y}$ avec $y(0)=0$ ?

Réponse

$y(t)=\sqrt{t^2+1}-1$ .

25Question

Quelle est la solution unique de $y''-2y'+y=0$ avec $y(0)=3$ et $y'(0)=2$ ?

Réponse

$y(t)=(3-t)e^t$

26Question

Quelle est la solution générale de $y''-2y'-3y=4e^t$ ?

Réponse

$y(t)=(k_1+k_2t)e^t+2t^2e^t$ .

27Question

À quelles équations le principe de superposition s'applique-t-il directement ?

Réponse

Aux équations différentielles linéaires d'ordre 2.

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 15 questions sur Équations différentielles.

1. Laquelle de ces équations est une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 1 ?

2. Quelle expression représente la solution générale de l’équation homogène $a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0$ ?

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Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Équations différentielles.

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