Fiche de révision : Équations différentielles

📋 Plan du Cours

1. Équations linéaires d’ordre 1
2. Méthodes de résolution d’ordre 1
3. Équations non linéaires séparables
4. Équations linéaires d’ordre 2 homogènes
5. Équations d’ordre 2 avec second membre

📖 1. Équations linéaires d’ordre 1

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation homogène d’ordre 1 : Équation différentielle linéaire homogène d’ordre 1 qui s’écrit $a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0$ avec $a(t)\neq 0$ sur $\mathbb{R}$.
• Équation avec second membre : Équation différentielle linéaire d’ordre 1 qui s’écrit $a(t)y'(t)+b(t)y(t)=f(t)$ avec $a(t)\neq 0$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les solutions de l’équation homogène d’ordre 1 sont $y_0(t)=k\exp\left(-\int^t\frac{b(x)}{a(x)}\,dx\right)$ avec $k\in\mathbb{R}$.

📌 La solution générale d’une équation linéaire d’ordre 1 avec second membre est la somme de la solution générale homogène et d’une solution particulière, soit $y(t)=y_0(t)+y_p(t)$.

Compléments

• Pour résoudre une équation linéaire d’ordre 1 avec second membre, on résout d’abord l’équation homogène, puis on cherche une solution particulière et enfin on additionne les deux solutions.

💡 Astuce mémo

Homogène → particulière → générale

📖 2. Méthodes de résolution d’ordre 1

★ À maîtriser

📌 Lorsque le second membre d’une équation linéaire d’ordre 1 est polynomial-exponentiel, on peut chercher une solution particulière du même type que le second membre.

• La variation de la constante consiste à remplacer la constante de la solution homogène par une fonction, puis à déterminer cette fonction en la substituant dans l’équation.

📌 Pour un second membre somme $f_1(t)+f_2(t)$, une solution particulière est la somme des solutions particulières associées à $f_1$ et $f_2$.

Compléments

• Pour l’équation $y'+3y=t$, une solution particulière affine est $y_p(t)=\frac13t-\frac19$ et la solution générale est $y(t)=ke^{-3t}+\frac13t-\frac19$.

• Pour l’équation $y'+2y=\cos(t)$, une solution particulière est $y_p(t)=\frac25\cos(t)+\frac15\sin(t)$ et la solution générale est $y(t)=ke^{-2t}+\frac25\cos(t)+\frac15\sin(t)$.

💡 Astuce mémo

Forme adaptée au second membre, variation de constante si nécessaire

📖 3. Équations non linéaires séparables

★ À maîtriser

• La séparation des variables consiste à isoler les termes dépendant de $y$ avec $dy$ d’un côté, les termes dépendant de $t$ avec $dt$ de l’autre, puis à intégrer les deux membres.

Compléments

• La solution du problème $y'+e^te^{-y}=0$ avec $y(0)=0$ est $y(t)=\ln(2-e^t)$.

• La solution du problème $y'=\frac{t}{1+y}$ avec $y(0)=0$ est $y(t)=\sqrt{t^2+1}-1$.

💡 Astuce mémo

Séparer → intégrer → utiliser la condition initiale

📖 4. Équations linéaires d’ordre 2 homogènes

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation caractéristique associée à $ay''+by'+cy=0$ est $ar^2+br+c=0$.

• Si l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$, les solutions sont $y(t)=k_1e^{r_1t}+k_2e^{r_2t}$.

• Si les racines sont complexes conjuguées $r_1=\alpha+i\omega$ et $r_2=\alpha-i\omega$, les solutions sont $y(t)=(k_1\cos(\omega t)+k_2\sin(\omega t))e^{\alpha t}$.

• Si l’équation caractéristique possède une racine réelle double $r_1$, les solutions sont $y(t)=(k_1t+k_2)e^{r_1t}$.

Compléments

• L’équation $y''-2y'+y=0$ avec $y(0)=3$ et $y'(0)=2$ admet pour unique solution $y(t)=(3-t)e^t$.

💡 Astuce mémo

Δ>0 : deux exponentielles ; Δ<0 : oscillation ; Δ=0 : facteur t

📖 5. Équations d’ordre 2 avec second membre

★ À maîtriser

📌 Si $f(t)=P(t)e^{\lambda t}$, on peut chercher une solution particulière sous la forme $y_p(t)=t^mQ(t)e^{\lambda t}$, où $Q$ est un polynôme de même degré que $P$.

📌 Dans la forme $y_p(t)=t^mQ(t)e^{\lambda t}$, on prend $m=2$ si $\lambda$ est une racine double, $m=1$ si elle est une racine simple et $m=0$ sinon.

Compléments

• L’équation $y''-2y'-3y=4e^t$ a pour solution générale $y(t)=(k_1+k_2t)e^t+2t^2e^t$.

📌 Le principe de superposition des solutions est directement applicable aux équations différentielles linéaires d’ordre 2.

💡 Astuce mémo

Résonance avec la caractéristique → multiplication par t

📊 Tableaux de synthèse

Racines de l’équation caractéristique