Fiche de révision : Nombres réels et géométrie

📋 Plan du Cours

1. Puissances et leurs propriétés
2. Racines carrées et simplification
3. Valeur absolue et inégalités
4. Intervalles et opérations ensemblistes
5. Ensembles de nombres réels
6. Théorème de Thalès
7. Parallélogrammes et parallélisme
8. Triangles et cercle

📖 1. Puissances et leurs propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : le produit de n facteurs égaux à a

★ À maîtriser

📐 Formule — Les règles de calcul des puissances sont $a^n\times a^p=a^{n+p}$, $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$, $(a^n)^p=a^{np}$ et $(ab)^n=a^n b^n$.

Compléments

📐 Formule — Les exposants particuliers vérifient $a^1=a$, $a^0=1$, $0^n=0$, $1^n=1$, $a^{-1}=\frac1a$ et $a^{-n}=\frac1{a^n}$.

💡 Astuce mémo

Produit : on additionne les exposants ; quotient : on les soustrait ; puissance d’une puissance : on les multiplie.

📖 2. Racines carrées et simplification

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : le nombre toujours positif dont le carré est a

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a et b positifs, on a $\sqrt a\times\sqrt b=\sqrt{ab}$, $\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}$ avec b non nul, $(\sqrt a)^2=a$ et $\sqrt{a^2}=a$.

Compléments

• Les racines carrées des carrés parfaits de 0 à 13 sont $\sqrt0=0$, $\sqrt1=1$, $\sqrt4=2$, $\sqrt9=3$, $\sqrt{16}=4$, $\sqrt{25}=5$, $\sqrt{36}=6$, $\sqrt{49}=7$, $\sqrt{64}=8$, $\sqrt{81}=9$, $\sqrt{100}=10$, $\sqrt{121}=11$, $\sqrt{144}=12$ et $\sqrt{169}=13$.

📖 3. Valeur absolue et inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : la distance entre le point d’abscisse x et l’origine de la droite réelle

📝 Points essentiels

📌 Si x est positif ou nul, alors |x|=x, tandis que si x est négatif ou nul, alors |x|=-x.

• Pour résoudre une inégalité, on peut ajouter ou soustraire le même réel aux deux membres sans changer l’ordre, puis multiplier ou diviser par un réel positif sans changer l’ordre ou par un réel négatif en inversant l’ordre.

💡 Astuce mémo

Valeur absolue = distance toujours positive ; signe d’un réel = positif ou négatif selon sa position.

📖 4. Intervalles et opérations ensemblistes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes, avec des bornes éventuellement incluses ou exclues.
• Intersection : l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B
• Union : l’ensemble des éléments qui appartiennent à A, à B ou aux deux

📝 Points essentiels

• Les intervalles bornés usuels sont:
  • [a;b] : a≤x≤b
  • ]a;b[ : a<x<b
  • ]a;b] : a<x≤b
  • [a;b[ : a≤x<b

💡 Astuce mémo

« Et » donne l’intersection ; « ou » donne l’union.

📖 5. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : rassemble tous les nombres utilisés dans le cours, notamment 8, 2, 25°, 1/3 et π
• Nombres rationnels : appartient à Q et peut s’écrire comme le quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul, comme 1/3

📝 Points essentiels

• Les ensembles numériques sont emboîtés selon la chaîne $N\subset Z\subset D\subset Q\subset R$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

📖 6. Théorème de Thalès

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans la configuration 1 de Thalès, si A,D,B et A,E,C sont alignés dans cet ordre et si DE est parallèle à BC, alors $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$.

📌 Dans la configuration 1, si A,D,B et A,E,C sont alignés dans cet ordre et si les rapports AD/AB, AE/AC et DE/BC sont égaux, alors DE est parallèle à BC.

Compléments

📐 Formule — Dans la configuration papillon, si A,B,E et D,B,C sont alignés dans cet ordre et si CE est parallèle à AD, alors $\frac{CE}{AD}=\frac{AE}{AB}=\frac{BC}{DB}$.

💡 Astuce mémo

Thalès calcule une longueur avec le parallélisme ; sa réciproque démontre le parallélisme avec des rapports égaux.

📖 7. Parallélogrammes et parallélisme

🔑 Notions clés & Définitions

• Parallélogramme : un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux

★ À maîtriser

• Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en son centre de symétrie, les côtés et les angles opposés sont égaux, et les angles consécutifs sont supplémentaires.

📌 Deux droites coupées par une sécante sont parallèles si elles forment des angles alternes-internes ou des angles correspondants de même mesure.

Compléments

• Un rectangle possède un angle droit et des diagonales de même longueur, tandis qu’un losange possède des diagonales perpendiculaires et deux côtés consécutifs de même longueur.

💡 Astuce mémo

Angles alternes-internes ou correspondants égaux : les droites sont parallèles.

📖 8. Triangles et cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane : une droite issue d’un sommet qui coupe le côté opposé en son milieu
• Tangente : une droite perpendiculaire à un rayon et qui coupe le cercle en un seul point

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans un triangle rectangle, $\cos(x)=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\sin(x)=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$ et $\tan(x)=\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.

📐 Formule — Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : $c^2=a^2+b^2$.

• La somme des trois angles d’un triangle est égale à 180°.

💡 Astuce mémo

SOH CAH TOA : sinus, cosinus, tangente.

📊 Tableaux de synthèse

Ensembles numériques