QCM : Nombres réels et géométrie — 20 questions

Explication

Une puissance $a^n$ est définie comme le produit de $n$ facteurs égaux à $a$. Elle ne correspond donc ni à une somme répétée ni à un produit comportant $a$ facteurs égaux à $n$.

Explication

Dans une puissance de puissance, les exposants se multiplient, donc $\left(a^3\right)^4=a^{3\times4}=a^{12}$. L’addition des exposants s’applique au produit de puissances de même base, pas à une puissance de puissance.

Explication

La racine carrée de $a$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$. Le nombre négatif ayant le même carré n’est pas retenu comme valeur de la racine carrée.

Explication

La propriété du quotient s’applique lorsque $a$ et $b$ sont positifs et que $b\ne0$. La condition $b\ne0$ est nécessaire parce qu’un quotient par zéro n’est pas défini, tandis que la positivité garantit que les racines carrées sont définies dans ce cadre.

Explication

La valeur absolue de $x$ représente la distance entre le point d’abscisse $x$ et l’origine. Une distance est positive ou nulle, alors que $x$ lui-même peut conserver un signe négatif.

Explication

Lorsque $x$ est négatif ou nul, sa valeur absolue est son opposé, soit $|x|=-x$. L’expression $|x|=x$ convient plutôt lorsque $x\ge0$.

Explication

La multiplication ou la division par un réel négatif inverse l’ordre entre les deux membres. À l’inverse, une multiplication ou une division par un réel positif conserve le sens de l’inégalité.

Explication

Un crochet fermé indique que la borne est incluse dans l’intervalle. Un crochet ouvert signale au contraire que la borne est exclue.

Explication

L’écriture $]a;b]$ exclut $a$ et inclut $b$, ce qui correspond à $a<x\leq b$. L’intervalle $[a;b]$ inclurait les deux bornes.

Explication

L’intersection rassemble les éléments communs aux deux ensembles, donc le nombre appartient simultanément à $A$ et à $B$. L’appartenance à l’un ou l’autre ensemble correspond à l’union.

Explication

L’union contient les éléments appartenant à $A$, à $B$ ou aux deux. Exiger une appartenance simultanée aux deux ensembles décrirait l’intersection.

Explication

L’ensemble $R$ rassemble notamment des nombres comme $\frac{1}{3}$, $8$, $25^\circ$ et $\pi$. Une fraction comme $\frac{1}{3}$ est donc un nombre réel.

Explication

Les ensembles sont emboîtés selon $N\subset Z\subset D\subset Q\subset R$, avec $R$ comme ensemble le plus large de cette chaîne. Inverser la chaîne ferait notamment croire que les réels sont contenus dans les naturels.

Explication

Lorsque les points sont alignés dans l’ordre indiqué et que $DE$ est parallèle à $BC$, le théorème donne $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$. L’égalité des rapports n’est pas ici l’hypothèse de départ, mais la conséquence du parallélisme.

Explication

La réciproque de Thalès permet de conclure que $DE\parallel BC$ lorsque les trois rapports sont égaux, avec les alignements requis. Le parallélisme est alors déduit des rapports, contrairement au théorème direct.

Explication

Un parallélogramme est défini par le parallélisme deux à deux de ses côtés opposés. La perpendicularité des diagonales, les angles droits ou l’égalité de côtés consécutifs caractérisent plutôt certaines autres figures.

Explication

Les angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires, tandis que les angles opposés sont égaux. L’égalité des angles concerne donc une autre paire d’angles.

Explication

Des angles correspondants de même mesure permettent de démontrer que les deux droites sont parallèles. La perpendicularité ou la supplémentarité ne découle pas de cette configuration.

Explication

Dans un triangle rectangle, le cosinus est le rapport du côté adjacent à l’hypoténuse. Le rapport du côté opposé à l’hypoténuse correspond au sinus, tandis que le dernier rapport donné correspond à la tangente.

Explication

Le théorème de Pythagore donne, dans un triangle rectangle, $c^2=a^2+b^2$ pour l’hypoténuse et les deux autres côtés. Une soustraction intervient dans certaines transformations de la formule, mais elle ne constitue pas la relation générale ici.