QCM : Équations différentielles — 15 questions

Question 1

1. Laquelle de ces équations est une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 1 ?

a(t)y'(t)+b(t)y(t)^2=0

avec

a(t)\neq 0

a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0

avec

a(t)\neq 0

a(t)y'(t)+b(t)y(t)=f(t)

avec

f(t)\neq 0

a(t)y''(t)+b(t)y(t)=0

avec

a(t)\neq 0

Explication

Une équation homogène linéaire d’ordre 1 possède un second membre nul et s’écrit avec les termes $y'$ et $y$ au premier degré. La présence d’un second membre non nul décrit une équation avec second membre, tandis que $y^2$ rend l’équation non linéaire.

Answer

$$a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0$$ avec $$a(t)\neq 0$$

Question 2

2. Quelle expression représente la solution générale de l’équation homogène $a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0$ ?

y_0(t)=k\exp\left(\int^t\frac{a(x)}{b(x)}\,dx\right)

avec

k\in\mathbb{R}

y_0(t)=k\exp\left(-\int^t\frac{b(x)}{a(x)}\,dx\right)

avec

k\in\mathbb{R}

y_0(t)=k\exp\left(\int^t\frac{b(x)}{a(x)}\,dx\right)

avec

k\in\mathbb{R}

y_0(t)=k\exp\left(-\int^t\frac{a(x)}{b(x)}\,dx\right)

avec

k\in\mathbb{R}

Explication

La solution homogène s’obtient en intégrant le rapport $b(t)/a(t)$ avec un signe négatif dans l’exponentielle. Les autres expressions inversent le rapport ou le signe, ce qui ne correspond pas à l’équation donnée.

Answer

$$y_0(t)=k\exp\left(-\int^t\frac{b(x)}{a(x)}\,dx\right)$$ avec $$k\in\mathbb{R}$$

Question 3

3. Quelle forme caractérise une équation différentielle linéaire d’ordre 1 avec second membre ?

a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0

avec

a(t)\neq 0

a(t)y'(t)+b(t)y(t)^2=f(t)

avec

a(t)\neq 0

a(t)y'(t)+b(t)y(t)=f(t)

avec

a(t)\neq 0

a(t)y''(t)+b(t)y'(t)=f(t)

avec

a(t)\neq 0

Explication

Une équation linéaire d’ordre 1 avec second membre contient $y'$ et $y$ au premier degré et s’écrit avec un terme $f(t)$ à droite. Un second membre nul correspond à l’équation homogène, tandis que $y^2$ ou $y''$ change la nature de l’équation.

Answer

$$a(t)y'(t)+b(t)y(t)=f(t)$$ avec $$a(t)\neq 0$$

Question 4

4. Comment s’écrit la solution générale d’une équation linéaire d’ordre 1 avec second membre ?

y(t)=y_0(t)y_p(t)

y(t)=y_0(t)+y_p(t)

y(t)=\frac{y_0(t)}{y_p(t)}

y(t)=y_0(t)-y_p(t)

Explication

La solution générale est obtenue en ajoutant une solution générale de l’équation homogène à une solution particulière. Une solution particulière seule ne contient pas la constante arbitraire nécessaire pour représenter toutes les solutions.

Answer

$$y(t)=y_0(t)+y_p(t)$$

Question 5

5. Pour une équation linéaire dont le second membre est polynomial-exponentiel, quelle stratégie peut fournir une solution particulière ?

Remplacer la constante homogène par une fonction inconnue

Chercher une expression particulière du même type polynomial-exponentiel

Séparer les termes en

y

et ceux en

t

avant intégration

Chercher une expression particulière indépendante du second membre

Explication

Lorsque le second membre est polynomial-exponentiel, on peut proposer une solution particulière de forme analogue et déterminer ses coefficients. Remplacer une constante par une fonction relève de la variation de la constante, tandis que les autres démarches correspondent à d’autres méthodes.

Answer

Chercher une expression particulière du même type polynomial-exponentiel

Question 6

6. Que fait-on dans la méthode de variation de la constante pour une équation linéaire d’ordre 1 ?

On remplace la solution homogène par une fonction polynomiale indépendante de

k

On remplace la constante

k

par une fonction

k(t)

, puis on détermine cette fonction

On conserve la constante

k

et on ajuste uniquement les coefficients du second membre

On sépare les facteurs dépendant de

y

et ceux dépendant de

t

avant d’intégrer

Explication

La variation de la constante transforme la constante arbitraire de la solution homogène en une fonction inconnue, ensuite déterminée par substitution. Conserver une constante fixe ne constitue pas cette méthode, et la séparation des variables concerne les équations séparables.

Answer

On remplace la constante $$k$$ par une fonction $$k(t)$$, puis on détermine cette fonction

Question 7

7. Si le second membre est $f(t)=f_1(t)+f_2(t)$ , comment construire une solution particulière ?

Additionner une solution particulière de

f_1

et une solution particulière de

f_2

Soustraire une solution particulière de

f_2

d’une solution particulière de

f_1

Multiplier une solution particulière de

f_1

par une solution particulière de

f_2

Utiliser une solution particulière associée à la moyenne de

f_1

et

f_2

Explication

La linéarité permet d’additionner les solutions particulières correspondant aux deux composantes du second membre. La multiplication, la soustraction ou la moyenne ne préservent pas la relation requise avec la somme $f_1(t)+f_2(t)$ .

Answer

Additionner une solution particulière de $$f_1$$ et une solution particulière de $$f_2$$

Question 8

8. Quelle opération constitue la séparation des variables dans une équation différentielle séparable ?

Remplacer la constante homogène par une fonction et la déterminer par substitution

Proposer une forme polynomial-exponentielle pour le terme particulier

Regrouper les termes en

y

avec

dy

et ceux en

t

avec

dt

, puis intégrer

Additionner deux solutions particulières correspondant à deux seconds membres

Explication

La séparation des variables consiste à placer les expressions dépendant de $y$ avec $dy$ d’un côté et celles dépendant de $t$ avec $dt$ de l’autre, avant d’intégrer. Les autres propositions décrivent des méthodes propres aux équations linéaires d’ordre 1.

Answer

Regrouper les termes en $$y$$ avec $$dy$$ et ceux en $$t$$ avec $$dt$$, puis intégrer

Question 9

9. Quelle fonction satisfait le problème $y'=\frac{t}{1+y}$ avec $y(0)=0$ ?

y(t)=\ln(t^2+1)

y(t)=\sqrt{t^2+1}-1

y(t)=\sqrt{t^2-1}+1

y(t)=\frac{t^2}{2}-1

Explication

La séparation des variables et l’intégration, suivies de l’utilisation de $y(0)=0$ , donnent $y(t)=\sqrt{t^2+1}-1$ . Les autres expressions ne satisfont pas simultanément l’équation différentielle et la condition initiale.

Answer

$$y(t)=\sqrt{t^2+1}-1$$

Question 10

10. Quelle équation caractéristique est associée à l’équation différentielle homogène $ay''+by'+cy=0$ ?

ay^2+by+c=0

ar^2+br+c=0

at^2+bt+c=0

ar^2+by+c=0

Explication

L’équation caractéristique s’obtient en remplaçant les dérivées par des puissances de la variable auxiliaire $r$ , ce qui donne $ar^2+br+c=0$ . La variable $r$ appartient à l’équation caractéristique, tandis que $y(t)$ désigne la fonction cherchée dans l’équation différentielle.

Answer

$$ar^2+br+c=0$$

Question 11

11. Quelle forme prennent les solutions lorsque l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ ?

y(t)=k_1e^{(r_1+r_2)t}+k_2t

y(t)=k_1e^{r_1t}+k_2e^{r_2t}

y(t)=(k_1t+k_2)e^{r_1t}

y(t)=(k_1cos(r_1t)+k_2 sin(r_2t))e^{r_1t}

Explication

Deux racines réelles distinctes fournissent deux solutions exponentielles indépendantes, combinées sous la forme $k_1e^{r_1t}+k_2e^{r_2t}$ . Le facteur $t$ apparaît dans le cas d’une racine double, et les fonctions trigonométriques correspondent aux racines complexes conjuguées.

Answer

$$y(t)=k_1e^{r_1t}+k_2e^{r_2t}$$

Question 12

12. Quelle solution générale correspond à des racines complexes conjuguées $r_1=\alpha+i\omega$ et $r_2=\alpha-i\omega$ ?

y(t)=(k_1\cos(\omega t)+k_2\sin(\omega t))e^{\alpha t}

y(t)=(k_1t+k_2)e^{\alpha t}

y(t)=k_1e^{\alpha t}+k_2e^{\omega t}

y(t)=k_1e^{(\alpha+i\omega)t}+k_2e^{(\alpha-i\omega)t}

Explication

Des racines complexes conjuguées donnent une combinaison réelle de sinus et de cosinus multipliée par l’enveloppe exponentielle $e^{\alpha t}$ . La forme avec un facteur $t$ est réservée à une racine réelle double.

Answer

$$y(t)=(k_1\cos(\omega t)+k_2\sin(\omega t))e^{\alpha t}$$

Question 13

13. Quelle forme générale obtient-on lorsque l’équation caractéristique possède une racine réelle double $r_1$ ?

y(t)=(k_1\cos(r_1t)+k_2\sin(r_1t))e^{r_1t}

y(t)=(k_1t+k_2)e^{r_1t}

y(t)=k_1e^{r_1t}+k_2e^{-r_1t}

y(t)=k_1e^{r_1t}+k_2e^{r_1t}

Explication

Une racine réelle double produit une seconde solution indépendante contenant le facteur $t$ , d’où la forme $(k_1t+k_2)e^{r_1t}$ . Additionner deux fois la même exponentielle ne fournirait pas deux solutions indépendantes.

Answer

$$y(t)=(k_1t+k_2)e^{r_1t}$$

Question 14

14. Pour un second membre de la forme $f(t)=P(t)e^{\lambda t}$ , quelle forme peut-on choisir pour une solution particulière ?

y_p(t)=t^m\cos(\lambda t)+Q(t)

, avec

Q

constant

y_p(t)=Q(t)e^{\mu t}

, avec

Q

de degré inférieur à

P

y_p(t)=t^mQ(t)e^{\lambda t}

, avec

Q

de même degré que

P

y_p(t)=e^{t^m}Q(\lambda t)

, avec

Q

de degré supérieur à

P

Explication

La méthode des coefficients indéterminés consiste à essayer $y_p(t)=t^mQ(t)e^{\lambda t}$ , où $Q$ a le même degré que $P$ . L’exposant $m$ est déterminé par la multiplicité de $\lambda$ comme racine de l’équation caractéristique.

Answer

$$y_p(t)=t^mQ(t)e^{\lambda t}$$, avec $$Q$$ de même degré que $$P$$

Question 15

15. Dans la forme $y_p(t)=t^mQ(t)e^{\lambda t}$ , quelle valeur faut-il donner à $m$ lorsque $\lambda$ est une racine simple de l’équation caractéristique ?

m=0

m=\lambda

m=1

m=2

Explication

Lorsque $\lambda$ est une racine simple, on choisit $m=1$ afin de rendre la solution particulière indépendante de la solution homogène correspondante. La valeur $m=2$ est utilisée pour une racine double, tandis que $m=0$ convient lorsque $\lambda$ n’est pas une racine.

QCM : Équations différentielles — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle de ces équations est une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 1 ?

2. Quelle expression représente la solution générale de l’équation homogène $a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0$ ?

3. Quelle forme caractérise une équation différentielle linéaire d’ordre 1 avec second membre ?

4. Comment s’écrit la solution générale d’une équation linéaire d’ordre 1 avec second membre ?

5. Pour une équation linéaire dont le second membre est polynomial-exponentiel, quelle stratégie peut fournir une solution particulière ?

6. Que fait-on dans la méthode de variation de la constante pour une équation linéaire d’ordre 1 ?

7. Si le second membre est $f(t)=f_1(t)+f_2(t)$ , comment construire une solution particulière ?

8. Quelle opération constitue la séparation des variables dans une équation différentielle séparable ?

9. Quelle fonction satisfait le problème $y'=\frac{t}{1+y}$ avec $y(0)=0$ ?

10. Quelle équation caractéristique est associée à l’équation différentielle homogène $ay''+by'+cy=0$ ?

11. Quelle forme prennent les solutions lorsque l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ ?

12. Quelle solution générale correspond à des racines complexes conjuguées $r_1=\alpha+i\omega$ et $r_2=\alpha-i\omega$ ?

13. Quelle forme générale obtient-on lorsque l’équation caractéristique possède une racine réelle double $r_1$ ?

14. Pour un second membre de la forme $f(t)=P(t)e^{\lambda t}$ , quelle forme peut-on choisir pour une solution particulière ?

15. Dans la forme $y_p(t)=t^mQ(t)e^{\lambda t}$ , quelle valeur faut-il donner à $m$ lorsque $\lambda$ est une racine simple de l’équation caractéristique ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Mélanges homogènes et hétérogènes

Théorie et histoire du sport

Composition chimique d’un système

Psychologie du développement de l’enfant

Nombres réels et géométrie

Émission et perception d’un son

Crée tes propres QCM

QCM : Équations différentielles — 15 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle de ces équations est une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 1 ?

2. Quelle expression représente la solution générale de l’équation homogène a(t)y′(t)+b(t)y(t)=0a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0a(t)y′(t)+b(t)y(t)=0 ?

3. Quelle forme caractérise une équation différentielle linéaire d’ordre 1 avec second membre ?

4. Comment s’écrit la solution générale d’une équation linéaire d’ordre 1 avec second membre ?

5. Pour une équation linéaire dont le second membre est polynomial-exponentiel, quelle stratégie peut fournir une solution particulière ?

6. Que fait-on dans la méthode de variation de la constante pour une équation linéaire d’ordre 1 ?

7. Si le second membre est f(t)=f1(t)+f2(t)f(t)=f_1(t)+f_2(t)f(t)=f1​(t)+f2​(t), comment construire une solution particulière ?

8. Quelle opération constitue la séparation des variables dans une équation différentielle séparable ?

9. Quelle fonction satisfait le problème y′=t1+yy'=\frac{t}{1+y}y′=1+yt​ avec y(0)=0y(0)=0y(0)=0 ?

10. Quelle équation caractéristique est associée à l’équation différentielle homogène ay′′+by′+cy=0ay''+by'+cy=0ay′′+by′+cy=0 ?

11. Quelle forme prennent les solutions lorsque l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes r1r_1r1​ et r2r_2r2​ ?

12. Quelle solution générale correspond à des racines complexes conjuguées r1=α+iωr_1=\alpha+i\omegar1​=α+iω et r2=α−iωr_2=\alpha-i\omegar2​=α−iω ?

13. Quelle forme générale obtient-on lorsque l’équation caractéristique possède une racine réelle double r1r_1r1​ ?

14. Pour un second membre de la forme f(t)=P(t)eλtf(t)=P(t)e^{\lambda t}f(t)=P(t)eλt, quelle forme peut-on choisir pour une solution particulière ?

15. Dans la forme yp(t)=tmQ(t)eλty_p(t)=t^mQ(t)e^{\lambda t}yp​(t)=tmQ(t)eλt, quelle valeur faut-il donner à mmm lorsque λ\lambdaλ est une racine simple de l’équation caractéristique ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Mélanges homogènes et hétérogènes

Théorie et histoire du sport

Composition chimique d’un système

Psychologie du développement de l’enfant

Nombres réels et géométrie

Émission et perception d’un son

Crée tes propres QCM

2. Quelle expression représente la solution générale de l’équation homogène $a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0$ ?

7. Si le second membre est $f(t)=f_1(t)+f_2(t)$ , comment construire une solution particulière ?

9. Quelle fonction satisfait le problème $y'=\frac{t}{1+y}$ avec $y(0)=0$ ?

10. Quelle équation caractéristique est associée à l’équation différentielle homogène $ay''+by'+cy=0$ ?

11. Quelle forme prennent les solutions lorsque l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ ?

12. Quelle solution générale correspond à des racines complexes conjuguées $r_1=\alpha+i\omega$ et $r_2=\alpha-i\omega$ ?

13. Quelle forme générale obtient-on lorsque l’équation caractéristique possède une racine réelle double $r_1$ ?

14. Pour un second membre de la forme $f(t)=P(t)e^{\lambda t}$ , quelle forme peut-on choisir pour une solution particulière ?

15. Dans la forme $y_p(t)=t^mQ(t)e^{\lambda t}$ , quelle valeur faut-il donner à $m$ lorsque $\lambda$ est une racine simple de l’équation caractéristique ?