Fiche de révision : Équations du premier et second degré

📋 Plan du Cours

1. Équations du premier degré
2. Inéquations du premier degré
3. Résolution par identité remarquable
4. Équations du second degré
5. Relations entre les racines
6. Racine connue et seconde racine

📖 1. Équations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du premier degré : Équation à une inconnue qui s’écrit $ax+b=0$, où a et b sont des réels donnés et x est l’inconnue.
• Solution d’une équation : Un nombre x₀ est solution de l’équation $ax+b=0$ si et seulement si $ax_0+b=0$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si $a\ne0$, l’équation $ax+b=0$ admet pour solution $x=-\frac{b}{a}$ et son ensemble de solutions dans ℝ est $S_{\mathbb R}=\left\{-\frac{b}{a}\right\}$.

📖 2. Inéquations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation du premier degré : Inéquation à une inconnue qui s’écrit $ax+b\le0$, où a et b sont des réels.

📝 Points essentiels

📌 Pour $a\ne0$, le signe de $ax+b$ change au point $-\frac{b}{a}$ : il est du signe de a avant ce point et du signe opposé après ce point.

💡 Astuce mémo

Équation : une valeur ; inéquation : un intervalle de valeurs

📖 3. Résolution par identité remarquable

★ À maîtriser

📐 Formule — L’identité de mise sous forme canonique est $x^2+ax=\left(x+\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}$.

• Pour résoudre une équation du second degré par mise sous forme canonique, on complète le carré, on transforme l’expression en différence de deux carrés, puis on applique le produit nul.

Compléments

• L’équation $x^2+7x-8=0$ se factorise en $\left(x+\frac{7}{2}-\frac{9}{2}\right)\left(x+\frac{7}{2}+\frac{9}{2}\right)=0$ et admet les solutions $x_1=1$ et $x_2=-8$.

💡 Astuce mémo

Compléter le carré → différence de carrés → produit nul

📖 4. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation qui s’écrit $ax^2+bx+c=0$, avec $a\in\mathbb{R}^*$, $b\in\mathbb{R}$ et $c\in\mathbb{R}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le discriminant de l’équation $ax^2+bx+c=0$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation n’admet aucune solution réelle ; si $\Delta=0$, elle admet la solution double $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si $\Delta>0$, elle admet deux solutions distinctes $x'=-\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x''=-\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

📌 Si $a\cdot c<0$, alors le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ est strictement positif.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ → distinguer Δ<0, Δ=0, Δ>0 → écrire les racines

📖 5. Relations entre les racines

📝 Points essentiels

📐 Formule — Lorsque l’équation du second degré possède deux racines, leur somme est $S=x'+x''=-\frac{b}{a}$ et leur produit est $P=x'x''=\frac{c}{a}$.

💡 Astuce mémo

Somme = −b/a ; produit = c/a

📖 6. Racine connue et seconde racine

★ À maîtriser

📌 Pour $x^2+bx+c=0$, si $a+b+c=0$ dans la forme générale, alors $x'=1$ est une solution et l’autre solution vaut $x''=\frac{c}{a}$.

📌 Si x₀ est une solution de $ax^2+bx+c=0$, l’autre solution peut être obtenue avec $x'x''=\frac{c}{a}$ ou $x'+x''=-\frac{b}{a}$.

Compléments

• Pour $x^2+4x-12=0$, 2 est une solution car $2^2+4\cdot2-12=0$, et l’autre solution est $\frac{c}{x_0}=\frac{-12}{2}=-6$.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant