QCM : Équations du premier et second degré — 11 questions

Question 1

1. Laquelle des équations suivantes est bien une équation du second degré ?

3x^2-5=0

3x^3-5x+1=0

3x^2-5x+1=0

0x^2+4x-7=0

Explication

Une équation du second degré possède la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq0$ , tandis que $b$ et $c$ peuvent être nuls. L’équation avec $0x^2$ devient du premier degré et celle avec $x^3$ est du troisième degré.

Answer

$$3x^2-5x+1=0$$

Question 2

2. Dans quelle succession d’étapes résout-on une équation du second degré par mise sous forme canonique ?

Obtenir une différence de carrés, appliquer le produit nul, puis compléter le carré.

Compléter le carré, obtenir une différence de carrés, puis appliquer le produit nul.

Appliquer le produit nul, compléter le carré, puis obtenir une différence de carrés.

Compléter le carré, appliquer le produit nul, puis obtenir une différence de carrés.

Explication

La méthode consiste d’abord à compléter le carré, puis à transformer l’expression en différence de deux carrés afin de la factoriser, et enfin à utiliser le produit nul. Le produit nul intervient donc après la factorisation, et non avant.

Answer

Compléter le carré, obtenir une différence de carrés, puis appliquer le produit nul.

Question 3

3. Pour une équation $ax^2+bx+c=0$ vérifiant $a+b+c=0$ , quelle racine est garantie ?

x=1

x=-1

x=0

x=\frac{c}{a}

Explication

En remplaçant $x$ par $1$ , on obtient $a+b+c$ , qui vaut zéro par hypothèse ; ainsi, $1$ est une racine. La condition donnant la racine $-1$ serait liée à l’expression $a-b+c$ .

Answer

Aucune solution réelle

Answer

$$x=-\frac{b}{a}$$

Answer

$$x'x''=\frac{c}{a}$$

Answer

$$x^2+ax=\left(x+\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}$$

Answer

Il est positif avant le point et négatif après celui-ci.

Answer

Vérifier que $$4x_0-12=0$$

Question 4

4. Pour résoudre $x^2+4x-12=0$ sachant que $x_0=2$ est une racine, quelle est l’autre racine ?

\frac{1}{6}

-2

-6

6

Explication

Le produit des racines vaut $c/a=-12$ , donc l’autre racine vérifie $2x=-12$ et vaut $x=-6$ . La valeur $6$ change le signe du produit et ne satisfait pas l’équation.

Question 5

5. Combien de solutions réelles possède l’équation $x^2+2x+5=0$ ?

Aucune solution réelle

Deux solutions réelles distinctes

Une solution réelle positive

Une solution réelle double

Explication

Pour cette équation, $\Delta=2^2-4\times1\times5=-16<0$ , donc elle n’a aucune solution réelle. Une solution double correspondrait à $\Delta=0$ , tandis que deux solutions distinctes exigeraient $\Delta>0$ .

Question 6

6. Pour $a\ne0$ , quelle est la solution réelle de l’équation $ax+b=0$ ?

x=-\frac{b}{a}

x=-\frac{a}{b}

x=\frac{a}{b}

x=\frac{b}{a}

Explication

En isolant $x$ dans $ax+b=0$ , on obtient $ax=-b$ puis $x=-\frac{b}{a}$ . L’erreur la plus fréquente consiste à oublier le signe négatif ou à inverser les coefficients.

Question 7

7. Quel est le discriminant de l’équation $2x^2-3x+5=0$ ?

49

-49

31

-31

Explication

Le discriminant se calcule avec $\Delta=b^2-4ac$ , donc ici $\Delta=(-3)^2-4\times2\times5=9-40=-31$ . La valeur $31$ provient d’une erreur de signe dans le calcul du terme $-4ac$ .

Question 8

8. Une équation $ax^2+bx+c=0$ possède deux racines $x'$ et $x''$ . Quelle relation donne leur produit ?

x'x''=\frac{a}{c}

x'x''=\frac{c}{a}

x'x''=-\frac{c}{b}

x'x''=-\frac{b}{a}

Explication

Le produit des deux racines est $P=x'x''=\frac{c}{a}$ , tandis que leur somme vaut $S=x'+x''=-\frac{b}{a}$ . Confondre ces deux relations inverse le rôle des coefficients associés à la somme et au produit.

Question 9

9. Quelle identité permet de mettre $x^2+ax$ sous forme canonique ?

x^2+ax=\left(x+a\right)^2-a^2

x^2+ax=\left(x+\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}

x^2+ax=\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+\frac{a^2}{4}

x^2+ax=\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+\frac{a^2}{4}

Explication

La complétion du carré donne $x^2+ax=\left(x+\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}$ . Le terme constant doit être soustrait, car le développement du carré produit déjà $\frac{a^2}{4}$ .

Question 10

10. Pour $a>0$ , comment varie le signe de $ax+b$ autour du point $-\frac{b}{a}$ ?

Il est positif des deux côtés du point.

Il est négatif avant le point et positif après celui-ci.

Il est positif avant le point et négatif après celui-ci.

Il est négatif des deux côtés du point.

Explication

Le signe de $ax+b$ est celui de $a$ avant $-\frac{b}{a}$ , puis le signe opposé après ce point. Lorsque $a>0$ , il est donc positif avant le point et négatif après celui-ci.

Question 11

11. Comment vérifier qu’un nombre $x_0$ est solution de l’équation $4x-12=0$ ?

Vérifier que

4+x_0-12=0

Vérifier que

4x_0+12=0

Vérifier que

4x_0-12=0

Vérifier que

x_0-12=4

Explication

Un nombre est solution lorsque son remplacement dans le membre de gauche rend l’égalité vraie, c’est-à-dire lorsque $4x_0-12=0$ . Ajouter ou modifier un terme ne correspond pas au critère de vérification de l’équation donnée.

QCM : Équations du premier et second degré — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des équations suivantes est bien une équation du second degré ?

2. Dans quelle succession d’étapes résout-on une équation du second degré par mise sous forme canonique ?

3. Pour une équation $ax^2+bx+c=0$ vérifiant $a+b+c=0$ , quelle racine est garantie ?

4. Pour résoudre $x^2+4x-12=0$ sachant que $x_0=2$ est une racine, quelle est l’autre racine ?

5. Combien de solutions réelles possède l’équation $x^2+2x+5=0$ ?

6. Pour $a\ne0$ , quelle est la solution réelle de l’équation $ax+b=0$ ?

7. Quel est le discriminant de l’équation $2x^2-3x+5=0$ ?

8. Une équation $ax^2+bx+c=0$ possède deux racines $x'$ et $x''$ . Quelle relation donne leur produit ?

9. Quelle identité permet de mettre $x^2+ax$ sous forme canonique ?

10. Pour $a>0$ , comment varie le signe de $ax+b$ autour du point $-\frac{b}{a}$ ?

11. Comment vérifier qu’un nombre $x_0$ est solution de l’équation $4x-12=0$ ?

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QCM : Équations du premier et second degré — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des équations suivantes est bien une équation du second degré ?

2. Dans quelle succession d’étapes résout-on une équation du second degré par mise sous forme canonique ?

3. Pour une équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 vérifiant a+b+c=0a+b+c=0a+b+c=0, quelle racine est garantie ?

4. Pour résoudre x2+4x−12=0x^2+4x-12=0x2+4x−12=0 sachant que x0=2x_0=2x0​=2 est une racine, quelle est l’autre racine ?

5. Combien de solutions réelles possède l’équation x2+2x+5=0x^2+2x+5=0x2+2x+5=0 ?

6. Pour a≠0a\ne0a=0, quelle est la solution réelle de l’équation ax+b=0ax+b=0ax+b=0 ?

7. Quel est le discriminant de l’équation 2x2−3x+5=02x^2-3x+5=02x2−3x+5=0 ?

8. Une équation ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 possède deux racines x′x'x′ et x′′x''x′′. Quelle relation donne leur produit ?

9. Quelle identité permet de mettre x2+axx^2+axx2+ax sous forme canonique ?

10. Pour a>0a>0a>0, comment varie le signe de ax+bax+bax+b autour du point −ba-\frac{b}{a}−ab​ ?

11. Comment vérifier qu’un nombre x0x_0x0​ est solution de l’équation 4x−12=04x-12=04x−12=0 ?

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4. Pour résoudre $x^2+4x-12=0$ sachant que $x_0=2$ est une racine, quelle est l’autre racine ?

5. Combien de solutions réelles possède l’équation $x^2+2x+5=0$ ?

6. Pour $a\ne0$ , quelle est la solution réelle de l’équation $ax+b=0$ ?

7. Quel est le discriminant de l’équation $2x^2-3x+5=0$ ?

8. Une équation $ax^2+bx+c=0$ possède deux racines $x'$ et $x''$ . Quelle relation donne leur produit ?

9. Quelle identité permet de mettre $x^2+ax$ sous forme canonique ?

10. Pour $a>0$ , comment varie le signe de $ax+b$ autour du point $-\frac{b}{a}$ ?

11. Comment vérifier qu’un nombre $x_0$ est solution de l’équation $4x-12=0$ ?