Fiche de révision : Équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et racines du trinôme
2. Discriminant et résolution
3. Formes d’un trinôme
4. Factorisation selon le discriminant
5. Signe quand Δ est négatif ou nul
6. Signe quand Δ est positif
7. Application à un exemple

📖 1. Définition et racines du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec un coefficient $a$ non nul.
• Racine du trinôme : Une solution de l’équation $ax^2+bx+c=0$.

📝 Points essentiels

• Pour l’équation $x^2+x-2=0$, les deux racines sont $x=1$ et $x=-2$.

📖 2. Discriminant et résolution

★ À maîtriser

📐 Formule — Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation du second degré n’a aucune solution réelle.

📌 Si $\Delta=0$, l’équation possède une unique solution $x_0=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule — Si $\Delta>0$, les deux solutions distinctes sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• Pour $x^2+x-2=0$, le discriminant vaut $\Delta=1^2-4\times1\times(-2)=9$, puis les solutions obtenues sont $x_1=-2$ et $x_2=1$.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune racine ; Δ=0 : une racine ; Δ>0 : deux racines

📖 3. Formes d’un trinôme

★ À maîtriser

📌 Un trinôme peut être écrit sous forme développée $ax^2+bx+c$, sous forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ ou sous forme factorisée.

Compléments

• La forme factorisée d’un trinôme met en évidence ses racines sous la forme d’un produit de facteurs.

📖 4. Factorisation selon le discriminant

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $\Delta=0$ et si la racine double est $x_0$, alors le trinôme se factorise sous la forme $a(x-x_0)^2$.

📐 Formule — Si $\Delta>0$ et si les racines sont $x_1$ et $x_2$, alors le trinôme se factorise sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

• L’expression $x^2+x-2$ se factorise en $(x-1)(x+2)$, car ses racines sont 1 et -2 et son coefficient dominant vaut 1.

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme ne possède pas de forme factorisée dans les nombres réels.

💡 Astuce mémo

Racines trouvées → facteurs associés → forme factorisée

📖 5. Signe quand Δ est négatif ou nul

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$ et $a>0$, le trinôme est toujours positif.

• Si $\Delta<0$ et $a<0$, le trinôme est toujours négatif.

• Si $\Delta=0$, le trinôme a le signe de $a$ partout sauf en $x_0=-\frac{b}{2a}$, où il vaut zéro.

💡 Astuce mémo

Absence ou unicité des racines → la parabole ne coupe pas ou touche l’axe des abscisses

📖 6. Signe quand Δ est positif

📝 Points essentiels

📌 Pour $\Delta>0$ et $a>0$, le signe est positif avant la première racine, négatif entre les deux racines, puis positif après la seconde.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur des racines : signe de a ; entre les racines : signe opposé

📖 7. Application à un exemple

★ À maîtriser

• Pour étudier le signe d’un trinôme lorsque $\Delta>0$, on détermine les deux racines, on repère le signe de $a$, puis on attribue le signe de $a$ à l’extérieur des racines et le signe opposé entre elles.

Compléments

• Pour $f(x)=x^2+x-2$, les racines sont -2 et 1, le coefficient $a=1$ est positif, et la parabole est orientée vers le haut.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant

Signe du trinôme