QCM : Équations du second degré — 17 questions

Explication

Une équation du second degré comporte un terme en $x^2$ et s’écrit $ax^2+bx+c=0$ avec $a$ non nul. Une équation de la forme $ax+b=0$ est du premier degré, car elle ne contient pas de terme en $x^2$.

Explication

Une racine est une valeur de $x$ qui annule le trinôme, donc qui vérifie $ax^2+bx+c=0$. Le coefficient du terme en $x^2$ est $a$, tandis que le terme constant est $c$.

Explication

Le discriminant se calcule avec la formule $\Delta=b^2-4ac$. La forme canonique, comme $a(x-\alpha)^2+\beta$, constitue une autre écriture du trinôme et ne définit pas le discriminant.

Explication

Un discriminant négatif signifie que l’équation du second degré ne possède aucune solution réelle. Une solution unique correspond au cas $\Delta=0$, tandis que deux solutions distinctes correspondent au cas $\Delta>0$.

Explication

Lorsque $\Delta=0$, l’équation possède une racine réelle unique donnée par $x_0=-\frac{b}{2a}$. Le cas $\Delta>0$ conduit à deux racines distinctes calculées avec les expressions contenant $\sqrt{\Delta}$.

Explication

Pour $\Delta>0$, les deux solutions sont obtenues en ajoutant puis en soustrayant $\sqrt{\Delta}$ au numérateur, avec un dénominateur égal à $2a$. Remplacer $\sqrt{\Delta}$ par $\Delta$ ou oublier le facteur $2$ conduit à des expressions incorrectes.

Explication

La forme développée $ax^2+bx+c$ expose directement les coefficients $a$, $b$ et $c$. La forme canonique est particulièrement utile pour étudier un maximum ou un minimum, tandis que la forme factorisée met en évidence les racines.

Explication

La forme factorisée écrit le trinôme comme un produit de facteurs associés à ses racines, par exemple $a(x-x_1)(x-x_2)$. La forme développée permet plutôt de lire les coefficients, tandis que la forme canonique facilite l’étude du sommet.

Explication

Une racine double correspond à un facteur répété, ce qui donne $a(x-x_0)^2$. La présence de deux facteurs distincts correspondrait plutôt à deux racines différentes lorsque $\Delta>0$.

Explication

Deux racines distinctes donnent deux facteurs linéaires différents, d’où la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$. Un carré d’un seul facteur représenterait une racine double associée à $\Delta=0$.

Explication

Avec $\Delta<0$, le trinôme ne possède aucune racine réelle et conserve le signe de son coefficient dominant ; si $a>0$, il est donc positif. Le cas où il est négatif correspond à $a<0$.

Explication

Lorsque $\Delta<0$, aucune racine réelle ne permet au trinôme de s’annuler, et son signe reste celui de $a$ ; avec $a<0$, il est négatif. Un trinôme positif dans cette situation aurait un coefficient dominant positif.

Explication

Avec $\Delta=0$, la racine double est le seul endroit où le trinôme s’annule ; ailleurs, il garde le signe de $a$. Il ne change donc pas de signe en traversant $x_0$, contrairement au cas de deux racines distinctes.

Explication

Avec deux racines réelles distinctes et un coefficient dominant positif, le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles. Le signe s’annule précisément aux deux racines, ce qui distingue les trois intervalles.

Explication

Pour un coefficient dominant positif, le trinôme est négatif dans l’intervalle compris entre les deux racines distinctes. À l’extérieur de cet intervalle, il est positif.

Explication

Lorsque $\Delta>0$, les deux racines délimitent trois intervalles et le signe dépend du coefficient $a$ : il est celui de $a$ à l’extérieur et son opposé entre les racines. Les racines ne suffisent donc pas à établir le tableau, car le signe de $a$ doit aussi être pris en compte.

Explication

Le coefficient de $x^2+x-2$ vaut $a=1>0$, donc la parabole est tournée vers le haut et le trinôme est positif à l’extérieur des racines $-2$ et $1$, puis négatif entre elles. L’ordre des racines impose les intervalles de changement de signe, et le signe de $a$ détermine le signe extérieur.