Fiche de révision : Équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Modélisation de l’enclos rectangulaire
2. Méthodes de résolution connues
3. Compléter le carré
4. Nombre de solutions selon le carré
5. Résolution et interprétation géométrique

📖 1. Modélisation de l’enclos rectangulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Longueur clôturée : 40 - 2x mètres, car les deux largeurs consomment 2x mètres de clôture.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’aire de l’enclos est donnée par $A(x)=x(40-2x)$.

📐 Formule — La condition d’une aire de 150 m² conduit à l’équation $-2x^2+40x-150=0$, équivalente à $x^2-20x+75=0$.

💡 Astuce mémo

Clôture disponible → longueur 40 - 2x → aire x(40 - 2x)

📖 2. Méthodes de résolution connues

★ À maîtriser

📌 Pour $x^2=a$ avec $a\geqslant0$, les solutions sont $x=\sqrt a$ ou $x=-\sqrt a$.

• Pour résoudre un produit nul, on factorise l’expression puis on utilise $AB=0\iff A=0\text{ ou }B=0$.

Compléments

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

💡 Astuce mémo

Carré nul, identité remarquable, produit nul

📖 3. Compléter le carré

★ À maîtriser

• La complétion du carré transforme $x^2-20x+75$ en $(x-10)^2-25$.

Compléments

📐 Formule — L’identité $(x-10)^2=x^2-20x+100$ permet d’écrire $x^2-20x=(x-10)^2-100$.

💡 Astuce mémo

Transformer la parabole en carré déplacé autour de x = 10

📖 4. Nombre de solutions selon le carré

📝 Points essentiels

📌 Pour une équation de la forme $(x-10)^2=-k$, si $-k<0$, elle n’a aucune solution réelle car un carré est toujours positif ou nul.

📌 Si $-k\geqslant0$, l’équation $(x-10)^2=-k$ donne $x=10+\sqrt{-k}$ ou $x=10-\sqrt{-k}$.

💡 Astuce mémo

Carré égal à un nombre négatif : aucune solution ; carré égal à un nombre positif ou nul : une ou deux solutions

📖 5. Résolution et interprétation géométrique

★ À maîtriser

• La résolution de $x^2-20x+75=0$ donne $x=5$ ou $x=15$.

📌 Dans le problème de l’enclos, la contrainte physique impose que x soit une longueur positive, et les deux valeurs admissibles sont donc 5 m et 15 m.

Compléments

• Pour x = 5 m, la longueur du troisième côté vaut 30 m et, pour x = 15 m, elle vaut 10 m.

💡 Astuce mémo

Résoudre → garder x positif → déterminer les dimensions

📊 Tableaux de synthèse

Méthodes de résolution