Fiche de révision : Second degré et trinôme

📋 Plan du Cours

1. Formes et sommet de la parabole
2. Discriminant et racines
3. Variations et extrema
4. Factorisation et relations entre racines
5. Signe et lecture graphique

📖 1. Formes et sommet de la parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet : le point $S(\alpha;\beta)$ et son axe de symétrie est la droite $x=\alpha$

★ À maîtriser

📐 Formule — Toute fonction du second degré s’écrit sous forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

• Le trinôme $x^2+4x-5$ s’écrit sous forme canonique $x^2+4x-5=(x+2)^2-9$.

💡 Astuce mémo

Le signe de a → l’orientation de la parabole

📖 2. Discriminant et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : un réel x tel que $f(x)=0$
• Discriminant : du trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta>0$, le trinôme possède deux racines réelles distinctes ; si $\Delta=0$, il possède une racine réelle double ; si $\Delta<0$, il ne possède aucune racine réelle.

Compléments

• Pour $x^2+4x-5$, le discriminant vaut $\Delta=36>0$, donc le trinôme possède deux racines réelles distinctes.

💡 Astuce mémo

Δ positif : deux racines ; Δ nul : une racine double ; Δ négatif : aucune

📖 3. Variations et extrema

★ À maîtriser

• Le changement de variation d’une fonction du second degré a lieu en $x=\alpha$, l’abscisse du sommet.

• Si $a>0$, la fonction est décroissante puis croissante et admet un minimum égal à $\beta$ en $x=\alpha$.

• Si $a<0$, la fonction est croissante puis décroissante et admet un maximum égal à $\beta$ en $x=\alpha$.

Compléments

• Le signe de a détermine l’orientation de la parabole : elle est tournée vers le haut si $a>0$ et vers le bas si $a<0$.

💡 Astuce mémo

a > 0 donne un minimum, tandis que a < 0 donne un maximum

📖 4. Factorisation et relations entre racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $\Delta>0$, les racines sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📐 Formule — Si $\Delta=0$, l’unique racine est $x_0=-\frac{b}{2a}$ et le trinôme se factorise en $f(x)=a(x-x_0)^2$.

📐 Formule — Si $\Delta>0$, la factorisation du trinôme est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📐 Formule — Pour les racines $x_1$ et $x_2$, leur somme vaut $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et leur produit vaut $P=x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme ne peut pas être factorisé dans $\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ → trouver les racines → factoriser

📖 5. Signe et lecture graphique

★ À maîtriser

📌 Lorsque deux racines réelles $x_1<x_2$ existent, le trinôme est du signe de a à l’extérieur de l’intervalle $[x_1,x_2]$ et du signe opposé à a entre les deux racines.

• Graphiquement, $\Delta>0$ correspond à deux intersections avec l’axe des abscisses, $\Delta=0$ à une tangence à cet axe et $\Delta<0$ à aucune intersection.

Compléments

📌 Si $\Delta=0$, le trinôme est du signe de a et s’annule seulement en $x_0$.

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme est toujours strictement du signe de a.

• Le trinôme $2x^2-8x-10$ est positif sur $]-\infty;-1[\cup]5;+\infty[$ et négatif sur $]-1;5[$.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur : signe de a ; entre les racines : signe opposé

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et interprétation