Fiche de révision : Fonction du second degré

📋 Plan du Cours

1. Graphe du trinôme
2. Signe du trinôme
3. Variations selon le coefficient
4. Définitions du trinôme
5. Racines et discriminant
6. Factorisation du trinôme

📖 1. Graphe du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet : Point de la parabole de coordonnées $S(\alpha,\beta)$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$.

📝 Points essentiels

📌 La droite d’équation $x=\alpha$ est l’axe de symétrie de la parabole représentative du trinôme.

💡 Astuce mémo

Une parabole avec son sommet S posé sur l’axe vertical x = α.

📖 2. Signe du trinôme

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, le trinôme $ax^2+bx+c$ est partout du signe de a.

• Si $\Delta=0$, le trinôme $ax^2+bx+c$ est du signe de a et s’annule en sa racine double.

• Si $\Delta>0$, le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de -a entre les racines.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur des racines : signe de a ; entre elles : signe de -a.

📖 3. Variations selon le coefficient

📝 Points essentiels

• Lorsque a est positif, la fonction décroît jusqu’à $x=-\frac{b}{2a}$, atteint la valeur $-\frac{\Delta}{4a}$, puis croît vers $+\infty$.

💡 Astuce mémo

a > 0 donne une parabole qui descend puis remonte ; a < 0 donne l’inverse.

📖 4. Définitions du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Fonction $P:x\mapsto ax^2+bx+c$ définie sur $\mathbb{R}$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.
• Racines : Solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$.
• Discriminant : Nombre $\Delta=b^2-4ac$.
• Forme canonique : Expression $a(x-\alpha)^2+\beta$, également écrite $a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{\Delta}{4a}$.

💡 Astuce mémo

P-R-D-C : Polynôme, Racines, Discriminant, forme Canonique.

📖 5. Racines et discriminant

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme n’a aucune racine réelle.

📐 Formule — Si $\Delta=0$, le trinôme possède une racine double $x=-\frac{b}{2a}$.

📐 Formule — Si $\Delta>0$, les deux racines distinctes sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

📐 Formule — Les racines vérifient $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $x_1x_2=\frac{c}{a}$ et $\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}$.

📌 Si $a+b+c=0$, alors 1 est une racine du trinôme, et cette implication est réciproque.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : aucune racine ; Δ = 0 : une racine double ; Δ > 0 : deux racines.

📖 6. Factorisation du trinôme

📝 Points essentiels

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme $ax^2+bx+c$ est irréductible et ne se factorise pas sur les réels.

📐 Formule — Si $\Delta=0$, alors $ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=a(x-x_1)^2$.

📐 Formule — Si $\Delta>0$, alors $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$.

💡 Astuce mémo

Δ < 0 : irréductible ; Δ = 0 : carré ; Δ > 0 : produit de deux facteurs.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et racines