Fiche de révision : Vecteurs et droites de l’espace

📋 Plan du Cours

1. Plans et règles d’incidence
2. Positions relatives dans l’espace
3. Vecteurs et opérations vectorielles
4. Colinéarité et combinaisons linéaires
5. Droites et plans vectoriels
6. Repérage et coordonnées spatiales
7. Représentations paramétriques des droites

📖 1. Plans et règles d’incidence

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan : Peut être défini par trois points non alignés A, B et C, noté (ABC), ou par deux droites sécantes ou strictement parallèles.

★ À maîtriser

📌 Par deux points distincts d’un plan passe une unique droite, et si deux points distincts appartiennent à un plan, la droite qui les relie est incluse dans ce plan.

Compléments

• Dans chaque plan de l’espace, toutes les règles de géométrie plane s’appliquent.

📖 2. Positions relatives dans l’espace

★ À maîtriser

• Deux droites de l’espace sont soit non coplanaires, soit coplanaires ; lorsqu’elles sont coplanaires, elles peuvent être sécantes, strictement parallèles ou confondues.

• Deux plans de l’espace sont soit sécants, avec une droite d’intersection, soit strictement parallèles, sans point commun, soit confondus.

• Une droite et un plan de l’espace sont soit sécants, avec un point d’intersection, soit parallèles, auquel cas la droite n’a aucun point commun avec le plan ou est contenue dans celui-ci.

• Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan.

Compléments

📌 Deux plans sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de l’un sont parallèles à deux droites sécantes de l’autre.

💡 Astuce mémo

Sécantes : un point commun ; parallèles : aucun point commun ; confondues : mêmes objets.

📖 3. Vecteurs et opérations vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Caractérise la translation qui transforme A en B par sa direction, son sens et sa norme, cette dernière étant égale à la distance AB.
• Vecteur nul : Lorsque A et B sont confondus, le vecteur $\overrightarrow{AA}$ est le vecteur nul $\overrightarrow{0}$, dont la norme est égale à 0.

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme, et deux représentants $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme.

📌 Pour tous points A, B et C de l’espace, la relation de Chasles donne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Compléments

📐 Formule — Pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ et deux réels $k$ et $k'$, on a $(k+k')\vec{u}=k\vec{u}+k'\vec{u}$, $k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$ et $k(k'\vec{u})=(kk')\vec{u}$, tandis que $k\vec{u}=\vec{0}$ implique $k=0$ ou $\vec{u}=\vec{0}$.

💡 Astuce mémo

Direction, sens, norme : les trois caractéristiques d’un vecteur.

📖 4. Colinéarité et combinaisons linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Sont colinéaires s’il existe un réel k tel que $\vec{v}=k\vec{u}$ ; par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
• Combinaison linéaire : Est un vecteur $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ avec $a,b\in\mathbb{R}$.

📝 Points essentiels

📌 Pour montrer que trois points A, B et C sont alignés, il suffit de montrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

📌 Pour montrer que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles, il suffit de montrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

💡 Astuce mémo

Colinéarité → parallélisme ou alignement ; combinaison linéaire → construction d’un vecteur.

📖 5. Droites et plans vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite vectorielle : Est définie par un point A et un vecteur directeur $\vec{u}$ comme l’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=t\vec{u}$ avec $t\in\mathbb{R}$.
• Plan vectoriel : Si A, B et C sont trois points non alignés, est l’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ avec $x,y\in\mathbb{R}$.
• Vecteurs coplanaires : Sont coplanaires si, en les représentant à partir d’un même point O, leurs extrémités et O appartiennent à un même plan.

★ À maîtriser

📌 Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, alors $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement s’il existe des réels a et b tels que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$.

Compléments

📌 Un plan est défini par un point et deux vecteurs directeurs non colinéaires, noté P(A, $\vec{u}$, $\vec{v}$).

📌 Deux plans ayant deux vecteurs directeurs non colinéaires en commun sont parallèles.

💡 Astuce mémo

Une droite utilise un point et un vecteur ; un plan utilise un point et deux vecteurs non colinéaires.

📖 6. Repérage et coordonnées spatiales

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de l’espace : Est un triplet de vecteurs non coplanaires, généralement noté $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
• Repère de l’espace : Est un quadruplet $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ constitué d’une origine O et de trois vecteurs non coplanaires.

★ À maîtriser

📌 Dans une base de l’espace, tout vecteur $\vec{V}$ s’écrit de manière unique $\vec{V}=x\vec{u}+y\vec{v}+z\vec{w}$, et (x,y,z) sont ses coordonnées dans cette base.

📐 Formule — Dans un repère orthonormé, si $\vec{u}=(x,y,z)$, alors $\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ et, pour A et B, $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$.

Compléments

📐 Formule — Si A(x_A,y_A,z_A) et B(x_B,y_B,z_B), alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$ et le milieu I de [AB] est $I\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

💡 Astuce mémo

Base → repère → coordonnées → calculs de vecteurs et de distances.

📖 7. Représentations paramétriques des droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation paramétrique : Le système $x=x_A+ta$, $y=y_A+tb$ et $z=z_A+tc$ avec $t\in\mathbb{R}$ est une représentation paramétrique de la droite, et t est son paramètre.

★ À maîtriser

• Dans un repère de l’espace, un point M appartient à la droite passant par A(x_A,y_A,z_A) et de vecteur directeur (a,b,c) s’il existe un réel t tel que $x=x_A+ta$, $y=y_A+tb$ et $z=z_A+tc$.

Compléments

• La droite passant par A(2,1,-1) et de vecteur directeur (0,1,-1) admet la représentation paramétrique $x=2$, $y=1+t$ et $z=-1-t$ avec $t\in\mathbb{R}$.

• Pour la représentation $x=2t$, $y=t-1$ et $z=t+2$ avec $t\in\mathbb{R}$, le point obtenu pour t=0 est (0,-1,2) et un vecteur directeur est (2,1,1).

💡 Astuce mémo

Point de départ + paramètre × vecteur directeur = point variable de la droite.

📊 Tableaux de synthèse

Positions relatives des objets

Coordonnées et calculs