Flashcards : Vecteurs et droites de l’espace — 43 cartes

Toutes les cartes

1Question

Comment définit-on un plan avec trois points ?

Réponse

Par trois points non alignés A, B et C.

2Question

Quelles droites peuvent définir un plan ?

Réponse

Deux droites sécantes ou strictement parallèles.

3Question

Combien de droites passent par deux points distincts d’un plan ?

Réponse

Une unique droite.

4Question

Que contient un plan si deux points distincts lui appartiennent ?

Réponse

La droite qui relie ces deux points.

5Question

Quelles sont les trois positions relatives possibles de deux droites coplanaires ?

Réponse

Sécantes, strictement parallèles ou confondues.

6Question

Quelles sont les trois positions relatives possibles de deux plans dans l'espace ?

Réponse

Sécants, strictement parallèles ou confondus.

7Question

Quelles sont les positions relatives possibles entre une droite et un plan ?

Réponse

Sécants, parallèles sans point commun, ou la droite est contenue dans le plan.

8Question

Quelle condition caractérise la parallélisme d'une droite et d'un plan ?

Réponse

La droite est parallèle à une droite du plan.

9Question

Quelles caractéristiques définit le vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

Réponse

Sa direction, son sens et sa norme égale à la distance AB.

10Question

Quand deux vecteurs sont-ils égaux ?

Réponse

Quand ils ont même direction, même sens et même norme.

11Question

Quelle condition géométrique caractérise l'égalité des représentants $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ?

Réponse

Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

12Question

Quelle relation exprime la relation de Chasles pour trois points A, B, C ?

Réponse

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .

13Question

Quelle condition définit la colinéarité entre deux vecteurs ?

Réponse

Il existe un réel k tel que $\vec{v}=k\vec{u}$ .

14Question

Quel vecteur est colinéaire à tout vecteur par convention ?

Réponse

Le vecteur nul.

15Question

Comment prouver que trois points A, B et C sont alignés ?

Réponse

Montrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

16Question

Quelle condition suffit pour montrer que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles ?

Réponse

Montrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

17Question

Qu'est-ce qu'une combinaison linéaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?

Réponse

Un vecteur $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ avec $a,b\in\mathbb{R}$ .

18Question

Comment est définie une droite vectorielle par un point et un vecteur ?

Réponse

Par l'ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=t\vec{u}$ avec $t\in\mathbb{R}$ .

19Question

Comment s'exprime un plan défini par trois points non alignés A, B et C ?

Réponse

Par l'ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ avec $x,y\in\mathbb{R}$ .

20Question

Quand dit-on que trois vecteurs sont coplanaires ?

Réponse

Si leurs extrémités et un même point O appartiennent à un même plan.

21Question

Quelle condition caractérise la coplanarité de trois vecteurs $\vec{u}$ , $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ?

Réponse

Il existe des réels a et b tels que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$ .

22Question

Qu'est-ce qu'une base de l'espace en géométrie vectorielle ?

Réponse

Un triplet de vecteurs non coplanaires.

23Question

Comment s'exprime un vecteur dans une base de l'espace ?

Réponse

Comme une combinaison linéaire unique $\vec{V}=x\vec{u}+y\vec{v}+z\vec{w}$ .

24Question

Que représentent les coordonnées (x,y,z) d'un vecteur dans une base ?

Réponse

Les coefficients de sa décomposition dans cette base.

25Question

Qu'est-ce qu'un repère de l'espace ?

Réponse

Un quadruplet formé d'une origine et de trois vecteurs non coplanaires.

26Question

Quelle est la formule de la norme d'un vecteur $\vec{u}=(x,y,z)$ dans un repère orthonormé ?

Réponse

$\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

27Question

Comment calcule-t-on la distance entre deux points A et B dans un repère orthonormé ?

Réponse

$AB=\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ .

28Question

Quelle condition vérifie un point M sur une droite passant par A avec vecteur directeur (a,b,c) ?

Réponse

Il existe un réel t tel que $x=x_A+ta$ , $y=y_A+tb$ et $z=z_A+tc$ .

29Question

Qu'appelle-t-on représentation paramétrique d'une droite ?

Réponse

Le système $x=x_A+ta$ , $y=y_A+tb$ , $z=z_A+tc$ avec $t\in\mathbb{R}$ .

30Question

Quel est le paramètre dans la représentation paramétrique d'une droite ?

Réponse

Le paramètre est le réel $t$ .

31Question

Quelles règles s’appliquent dans chaque plan de l’espace ?

Réponse

Toutes les règles de géométrie plane.

32Question

Quelle condition caractérise la parallélisme de deux plans ?

Réponse

Deux droites sécantes de l’un sont parallèles à deux droites sécantes de l’autre.

33Question

Que vaut la norme du vecteur nul $\overrightarrow{0}$ ?

Réponse

Elle est égale à 0.

34Question

Quelle formule traduit la distributivité de la multiplication scalaire sur la somme de réels ?

Réponse

$(k+k')\vec{u}=k\vec{u}+k'\vec{u}$ .

35Question

Quelle formule traduit la distributivité de la multiplication scalaire sur la somme de vecteurs ?

Réponse

$k(\vec{u}+\vec{v})=k\vec{u}+k\vec{v}$ .

36Question

Que signifie l'égalité $k\vec{u}=\vec{0}$ pour un scalaire k et un vecteur $\vec{u}$ ?

Réponse

Soit $k=0$ , soit $\vec{u}=\vec{0}$ .

37Question

Comment définit-on un plan à partir d'un point et deux vecteurs ?

Réponse

Un plan est noté P(A, $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ) avec deux vecteurs directeurs non colinéaires.

38Question

Quelle condition implique que deux plans sont parallèles ?

Réponse

Ils ont deux vecteurs directeurs non colinéaires en commun.

39Question

Quelle est l'expression du vecteur $\overrightarrow{AB}$ entre deux points A et B ?

Réponse

$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$ .

40Question

Comment calcule-t-on les coordonnées du milieu I du segment [AB] ?

Réponse

$I\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}, \frac{z_A+z_B}{2}\right)$ .

41Question

Quelle est la représentation paramétrique de la droite passant par A(2,1,-1) avec vecteur directeur (0,1,-1) ?

Réponse

$x=2$ , $y=1+t$ , $z=-1-t$ avec $t\in\mathbb{R}$ .

42Question

Quelle est la coordonnée du point obtenu pour $t=0$ dans $x=2t$ , $y=t-1$ , $z=t+2$ ?

Réponse

Le point est (0,-1,2).

43Question

Quel vecteur directeur correspond à la représentation paramétrique $x=2t$ , $y=t-1$ , $z=t+2$ ?

Réponse

Le vecteur directeur est (2,1,1).

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 23 questions sur Vecteurs et droites de l’espace.

1. Laquelle de ces configurations définit un plan unique ?

2. Dans un plan contenant deux points distincts A et B, quelle affirmation est correcte concernant la droite passant par ces points ?

Faire le QCM →

Consultez la fiche

Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Vecteurs et droites de l’espace.

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