QCM : Vecteurs et droites de l’espace — 23 questions

Explication

Trois points non alignés déterminent un plan unique, noté par exemple (ABC). Trois points alignés appartiennent à plusieurs plans possibles et ne suffisent donc pas à en définir un seul.

Explication

Par deux points distincts passe une unique droite, et cette droite est incluse dans tout plan contenant ces deux points. Le fait de connaître deux points ne rend pas nécessaire la présence d’un troisième point particulier.

Explication

Deux droites qui ne peuvent pas être contenues dans un même plan sont non coplanaires. Des droites strictement parallèles, en revanche, sont coplanaires et ne se coupent pas.

Explication

Deux plans strictement parallèles sont distincts et sans point commun, alors que deux plans confondus représentent le même plan. Une droite d’intersection caractérise plutôt deux plans sécants.

Explication

Une droite parallèle à un plan peut être extérieure à celui-ci et n’avoir aucun point commun avec lui, ou bien être contenue dans le plan. Une intersection en un point correspond au cas de droites et plan sécants.

Explication

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite de ce plan. Être perpendiculaire à toutes les droites du plan ou contenir plusieurs points du plan ne constitue pas le critère donné.

Explication

Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ caractérise la translation par sa direction, son sens et sa norme, cette norme étant la distance AB. La position particulière des points ou l’aire d’un triangle ne fait pas partie de ces trois caractéristiques.

Explication

Les représentants $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme, ce qui garantit même direction, même sens et même norme. La seule égalité des normes ne suffit pas, car les sens peuvent différer.

Explication

La relation de Chasles additionne le déplacement de A vers B et celui de B vers C pour obtenir directement le déplacement de A vers C. Le vecteur $\overrightarrow{CA}$ a le sens opposé à celui recherché.

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’un réel permet d’écrire l’un comme un multiple de l’autre. Des vecteurs colinéaires peuvent toutefois avoir des sens opposés, ce qui les distingue de vecteurs égaux.

Explication

Les deux vecteurs partant de $A$ doivent avoir la même direction, ce qui revient à établir leur colinéarité. L’égalité des normes ou la perpendicularité ne suffit pas à prouver l’alignement.

Explication

Des vecteurs directeurs colinéaires indiquent que les deux droites ont la même direction, donc qu’elles sont parallèles. Des vecteurs égaux imposeraient en plus une même norme et un même sens, condition plus forte que nécessaire.

Explication

Une combinaison linéaire associe aux vecteurs des coefficients réels, puis additionne les vecteurs ainsi multipliés. Les autres expressions ne respectent pas cette forme vectorielle à coefficients réels.

Explication

Tout point de la droite s’obtient depuis $A$ en ajoutant un multiple réel du vecteur directeur. La condition de produit scalaire nul décrit plutôt une perpendicularité, tandis qu’une distance fixée ne décrit pas une droite.

Explication

Deux vecteurs non colinéaires fournissent deux directions indépendantes qui engendrent le plan. Des vecteurs colinéaires ne produiraient qu’une direction, comme dans une droite.

Explication

La coplanarité signifie qu’après translation à une origine commune, les trois extrémités se trouvent dans un même plan avec cette origine. L’égalité des normes ou une composante commune ne caractérise pas cette propriété.

Explication

Lorsque $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, ils engendrent un plan vectoriel, et $\vec{w}$ y appartient exactement lorsqu’il est une combinaison linéaire des deux. Être multiple d’un seul vecteur est une condition plus restrictive et ne décrit pas toute la coplanarité.

Explication

Une base de l’espace comporte trois vecteurs non coplanaires, fournissant trois directions indépendantes. Deux vecteurs non colinéaires suffisent pour une base de plan, mais pas pour l’espace.

Explication

Les trois vecteurs d’une base de l’espace sont indépendants, donc chaque vecteur admet une décomposition unique selon ces trois directions. Les coordonnées peuvent être positives, négatives ou nulles, et trois directions sont nécessaires en général.

Explication

Un repère de l’espace est formé d’une origine et de trois vecteurs non coplanaires, tandis qu’une base ne comprend que le triplet de vecteurs. La coplanarité ou la colinéarité réduirait le nombre de directions disponibles.

Explication

La formule donne $AB=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2+(12-0)^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$. La valeur $\sqrt{21}$ correspondrait à un calcul incomplet des écarts de coordonnées.

Explication

Un point appartient à la droite lorsqu’un même paramètre réel $t$ permet de calculer simultanément ses trois coordonnées à partir de A et de $(a,b,c)$. Trois paramètres indépendants ne décriraient pas une droite, car ils supprimeraient le lien entre les coordonnées.

Explication

En remplaçant $t$ par $0$, on obtient $x=0$, $y=-1$ et $z=2$, tandis que les coefficients de $t$ donnent le vecteur directeur $(2,1,1)$. Le point $(2,-1,2)$ correspondrait notamment à une mauvaise évaluation de la première équation.