QCM : Puissances et théorème de Pythagore — 20 questions

Explication

Une puissance positive indique une multiplication répétée de la base par elle-même, avec $n$ facteurs égaux à $a$. La multiplication $n\times a$ correspond à une autre opération et ne désigne pas une puissance.

Explication

Les parenthèses font entrer le signe négatif dans la puissance, donc quatre facteurs négatifs donnent $81$. Dans $-3^4$, la puissance porte sur $3$ puis le signe négatif est appliqué, ce qui donne $-81$.

Explication

Pour une base non nulle, toute puissance d’exposant zéro vaut $1$. L’égalité $a^1=a$ concerne l’exposant un, tandis que $0^n=0$ s’applique à une base nulle avec un exposant non nul.

Explication

Une puissance négative représente l’inverse de la puissance positive correspondante, soit $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$. Elle ne change pas simplement le signe de $a^n$ et ne correspond pas à une division de la base par l’exposant.

Explication

Lorsqu’on divise deux puissances de même base, on soustrait les exposants, ce qui donne $a^{m-n}$. L’addition des exposants correspond à la multiplication de puissances de même base, et leur produit correspond à une puissance de puissance.

Explication

Une puissance élevée à une autre puissance se calcule en multipliant les exposants, donc $\left(10^5\right)^2=10^{5\times2}=10^{10}$. L’exposant $7$ serait obtenu par une addition, qui ne convient pas à une puissance de puissance.

Explication

La puissance positive $10^n$ s’écrit avec des zéros après le $1$ et est donc supérieure à $1$. La puissance négative $10^{-n}$ est son inverse, ce qui la place entre $0$ et $1$.

Explication

Une écriture scientifique exige un coefficient strictement supérieur à $0$ et strictement inférieur à $10$ ; $1,978$ respecte cette condition. Les autres coefficients sont soit supérieurs à $10$, soit inférieurs à $1$.

Explication

La réciproque de Pythagore établit que l’égalité entre le carré du plus grand côté et la somme des deux autres carrés prouve que le triangle est rectangle. La contraposée, souvent confondue avec elle, permettrait plutôt de conclure que le triangle n’est pas rectangle en cas de non-égalité.

Explication

Le test consiste à identifier le plus grand côté, à calculer son carré, puis à comparer ce résultat à la somme des carrés des deux autres côtés. Comparer directement les longueurs ou utiliser une différence de longueurs ne correspond pas au critère de Pythagore.

Explication

Comme AC est l’hypoténuse, le théorème donne $AC^2=AB^2+BC^2$, d’où $AB^2=AC^2-BC^2$. L’addition des carrés sert à calculer l’hypoténuse, tandis que le calcul d’un autre côté demande une soustraction.

Explication

Les deux côtés perpendiculaires donnent $BC^2=24^2+32^2=1600$, donc $BC=40$. La valeur 1600 correspond au carré de l’hypoténuse, tandis que 8 est une différence de longueurs qui ne convient pas ici.

Explication

Les signes sont opposés, donc on soustrait les distances à zéro et on garde le signe du nombre ayant la plus grande valeur absolue : $13-8=5$. L’addition de deux nombres négatifs donnerait une somme négative, mais ce n’est pas le cas dans cette expression.

Explication

Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé ; l’opposé de $-13$ est $+13$, donc $21-(-13)=21+13=34$. L’expression $21+(-13)$ correspondrait à une soustraction de $+13$, et non de $-13$.

Explication

Le quotient de deux nombres relatifs est négatif lorsque les signes sont différents. Les valeurs absolues déterminent la grandeur du quotient, mais elles ne changent pas cette règle de signe.

Explication

Un produit comportant un nombre impair de facteurs négatifs est négatif ; cinq est un nombre impair. Le produit serait positif avec un nombre pair de facteurs négatifs, car les changements de signe se compenseraient deux à deux.

Explication

Cette égalité exprime que $a$ est un multiple de $b$ et que la division euclidienne de $a$ par $b$ laisse un reste nul. Dire que $b$ est le quotient serait une confusion entre le diviseur et le quotient.

Explication

Un nombre divisible par 10 se termine par 0 ; il est alors aussi divisible par 2 et par 5. Les nombres se terminant par 5 peuvent être divisibles par 5, mais ils ne satisfont pas le critère de divisibilité par 2.

Explication

La divisibilité par 9 se teste en additionnant les chiffres : la somme doit être divisible par 9. Le chiffre des unités permet plutôt de tester la divisibilité par 2, par 5 ou par 10.

Explication

Le nombre 29 possède exactement deux diviseurs positifs, 1 et 29, ce qui correspond à la définition d’un nombre premier. Les autres nombres sont divisibles par 3 ou par 9 et possèdent donc d’autres diviseurs.