QCM : Second degré et trinôme — 14 questions

Question 1

1. Pour la fonction $f(x)=2x^2-8x+5$ , quelles sont les valeurs de $\alpha$ et de $\beta$ dans sa forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

\alpha=-2

et

\beta=-3

\alpha=2

et

\beta=13

\alpha=2

et

\beta=-3

\alpha=-2

et

\beta=13

Explication

On calcule $\alpha=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\times2}=2$ , puis $\beta=f(2)=-3$ . La valeur $\alpha=-2$ résulte d’une erreur de signe dans la formule.

Answer

$$\alpha=2$$ et $$\beta=-3$$

Question 2

2. Quelle description distingue correctement le sommet et l’axe de symétrie d’une parabole de forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

Le sommet est le point

S(\beta;\alpha)

et l’axe est la droite

x=\beta

.

Le sommet est la droite

x=\alpha

et l’axe est le point

S(\alpha;\beta)

.

Le sommet est le point

S(\alpha;\beta)

et l’axe est la droite

y=\beta

.

Le sommet est le point

S(\alpha;\beta)

et l’axe est la droite

x=\alpha

.

Explication

Le sommet possède pour coordonnées $S(\alpha;\beta)$ , tandis que l’axe de symétrie est une droite verticale d’équation $x=\alpha$ . La droite $y=\beta$ correspondrait à une droite horizontale et ne décrit pas l’axe de cette parabole.

Answer

Le sommet est le point $$S(\alpha;\beta)$$ et l’axe est la droite $$x=\alpha$$.

Question 3

3. Pour le trinôme $f(x)=x^2-5x+6$ , quelle valeur représente une racine ?

x=0

, car

f(0)=6

x=3

, car

f(3)=3

x=1

, car

f(1)=2

x=2

, car

f(2)=0

Explication

Une racine est un réel qui annule le trinôme, et $f(2)=2^2-5\times2+6=0$ . Une valeur donnant une image non nulle n’est pas une racine.

Answer

$$x=2$$, car $$f(2)=0$$

Question 4

4. Quel est le discriminant du trinôme $f(x)=3x^2-4x+1$ ?

\Delta=-4

\Delta=28

\Delta=16

\Delta=4

Explication

Avec $a=3$ , $b=-4$ et $c=1$ , on obtient $\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times3\times1=4$ . L’expression $b^2-4c$ omettrait à tort le coefficient $a$ .

Answer

$$\Delta=4$$

Question 5

5. Combien de racines réelles distinctes possède un trinôme dont le discriminant vérifie $\Delta>0$ ?

Une racine réelle double

Aucune racine réelle

Une racine réelle et une racine complexe

Deux racines réelles distinctes

Explication

Un discriminant strictement positif indique que le trinôme possède deux racines réelles distinctes. Le cas d’une racine double correspond à $\Delta=0$ , tandis que $\Delta<0$ signale l’absence de racine réelle.

Answer

Deux racines réelles distinctes

Question 6

6. Pour une fonction du second degré écrite sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , à quelle abscisse la fonction change-t-elle de variation ?

À

x=a

À

x=0

À

x=\alpha

À

x=\beta

Explication

Le changement de variation se produit à l’abscisse du sommet, c’est-à-dire en $x=\alpha$ . La valeur $\beta$ est l’ordonnée du sommet et correspond à la valeur de l’extremum.

Answer

À $$x=\alpha$$

Question 7

7. Une fonction du second degré a-t-elle un minimum ou un maximum lorsque son coefficient directeur $a$ est positif, et comment varie-t-elle ?

Elle croît puis décroît et son maximum vaut

\beta

en

x=\alpha

.

Elle décroît puis croît et son maximum vaut

\alpha

en

x=\beta

.

Elle décroît puis croît et son minimum vaut

\beta

en

x=\alpha

.

Elle croît puis décroît et son minimum vaut

\alpha

en

x=\beta

.

Explication

Si $a>0$ , la parabole est tournée vers le haut : la fonction décroît jusqu’à $x=\alpha$ , puis croît, avec un minimum égal à $\beta$ . Le maximum et l’ordre croissant puis décroissant caractérisent le cas $a<0$ .

Answer

Elle décroît puis croît et son minimum vaut $$\beta$$ en $$x=\alpha$$.

Question 8

8. Pour une fonction du second degré dont $a<0$ , quelle description de ses variations et de son extremum est correcte ?

Elle croît puis décroît et admet un maximum

\beta

en

x=\alpha

.

Elle décroît puis croît et admet un minimum

\beta

en

x=\alpha

.

Elle croît puis décroît et admet un minimum

\alpha

en

x=\beta

.

Elle décroît puis croît et admet un maximum

\alpha

en

x=\beta

.

Explication

Lorsque $a<0$ , la parabole est tournée vers le bas : la fonction croît jusqu’à $x=\alpha$ , puis décroît, et son maximum vaut $\beta$ . Le minimum avec une décroissance suivie d’une croissance correspond au cas $a>0$ .

Answer

Elle croît puis décroît et admet un maximum $$\beta$$ en $$x=\alpha$$.

Question 9

9. Pour un trinôme de discriminant positif $\Delta>0$ , quelles expressions donnent ses deux racines réelles distinctes ?

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

x_1=\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}

x_1=\frac{-b-\Delta}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\Delta}{2a}

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{a}

Explication

Lorsque $\Delta>0$ , les deux racines s’obtiennent avec $-b$ et les deux signes devant $\sqrt{\Delta}$ , le tout divisé par $2a$ . La deuxième proposition inverse le signe de $b$ , tandis que les autres modifient incorrectement le radical ou le dénominateur.

Answer

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Question 10

10. Un trinôme vérifie $\Delta=0$ et possède la racine $x_0=-\frac{b}{2a}$ . Quelle forme factorisée lui correspond ?

f(x)=a(x^2-x_0)

f(x)=a(x-x_0)^2

f(x)=a(x-x_0)(x+x_1)

f(x)=a(x+x_0)^2

Explication

Avec $\Delta=0$ , la racine $x_0$ est double, ce qui donne le carré du facteur $x-x_0$ . La forme avec $x+x_0$ changerait le signe de la racine, tandis que les deux autres ne représentent pas une racine double en général.

Answer

$$f(x)=a(x-x_0)^2$$

Question 11

11. Pour un trinôme dont les deux racines réelles distinctes sont $x_1$ et $x_2$ , quelle factorisation est correcte ?

f(x)=a(x-x_1-x_2)^2

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

f(x)=(x-x_1)(x-x_2)+a

Explication

Chaque racine annule un facteur de la forme $x-x_i$ , et le coefficient directeur reste le facteur multiplicatif $a$ . La deuxième expression correspondrait à des racines opposées, tandis que les autres ne conservent pas la structure générale du trinôme.

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 12

12. Les racines d’un trinôme sont $x_1$ et $x_2$ . Quelles relations donnent leur somme et leur produit ?

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

et

x_1x_2=\frac{c}{a}

x_1+x_2=\frac{b}{a}

et

x_1x_2=-\frac{c}{a}

x_1+x_2=-\frac{c}{a}

et

x_1x_2=\frac{b}{a}

x_1+x_2=\frac{a}{b}

et

x_1x_2=\frac{a}{c}

Explication

Les relations de Viète donnent la somme $-\frac{b}{a}$ et le produit $\frac{c}{a}$ . La deuxième proposition inverse les signes, alors que les deux dernières associent incorrectement les coefficients aux relations entre racines.

Answer

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ et $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Question 13

13. Lorsque $x_1<x_2$ sont deux racines réelles d’un trinôme, quel est son signe sur les trois zones déterminées par ces racines ?

Le signe de

a

à l’extérieur de

[x_1,x_2]

et le signe opposé à

a

entre les racines

Le signe opposé à

a

à l’extérieur de

[x_1,x_2]

et le signe de

a

entre les racines

Le signe de

a

sur les trois zones, avec annulation aux deux racines

Le signe opposé à

a

sur les trois zones, avec annulation aux deux racines

Explication

Un trinôme à deux racines est du signe de son coefficient dominant à l’extérieur des racines et prend le signe contraire entre elles. La deuxième proposition inverse ces régions, tandis que les deux dernières ignorent le changement de signe entre les racines.

Answer

Le signe de $$a$$ à l’extérieur de $$[x_1,x_2]$$ et le signe opposé à $$a$$ entre les racines

Question 14

14. Quelle situation graphique correspond respectivement à $\Delta>0$ , $\Delta=0$ et $\Delta<0$ pour une parabole ?

Deux intersections, une tangence, aucune intersection avec l’axe des abscisses

Une tangence, deux intersections, aucune intersection avec l’axe des abscisses

Aucune intersection, une tangence, deux intersections avec l’axe des abscisses

Deux intersections, aucune intersection, une tangence avec l’axe des abscisses

Explication

Un discriminant positif indique deux racines réelles et donc deux intersections, le discriminant nul une racine double et une tangence, et le discriminant négatif aucune racine réelle. La deuxième proposition permute les deux premiers cas, tandis que les autres associent incorrectement les valeurs du discriminant aux configurations graphiques.

Answer

Deux intersections, une tangence, aucune intersection avec l’axe des abscisses

QCM : Second degré et trinôme — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour la fonction $f(x)=2x^2-8x+5$ , quelles sont les valeurs de $\alpha$ et de $\beta$ dans sa forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

2. Quelle description distingue correctement le sommet et l’axe de symétrie d’une parabole de forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

3. Pour le trinôme $f(x)=x^2-5x+6$ , quelle valeur représente une racine ?

4. Quel est le discriminant du trinôme $f(x)=3x^2-4x+1$ ?

5. Combien de racines réelles distinctes possède un trinôme dont le discriminant vérifie $\Delta>0$ ?

6. Pour une fonction du second degré écrite sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , à quelle abscisse la fonction change-t-elle de variation ?

7. Une fonction du second degré a-t-elle un minimum ou un maximum lorsque son coefficient directeur $a$ est positif, et comment varie-t-elle ?

8. Pour une fonction du second degré dont $a<0$ , quelle description de ses variations et de son extremum est correcte ?

9. Pour un trinôme de discriminant positif $\Delta>0$ , quelles expressions donnent ses deux racines réelles distinctes ?

10. Un trinôme vérifie $\Delta=0$ et possède la racine $x_0=-\frac{b}{2a}$ . Quelle forme factorisée lui correspond ?

11. Pour un trinôme dont les deux racines réelles distinctes sont $x_1$ et $x_2$ , quelle factorisation est correcte ?

12. Les racines d’un trinôme sont $x_1$ et $x_2$ . Quelles relations donnent leur somme et leur produit ?

13. Lorsque $x_1<x_2$ sont deux racines réelles d’un trinôme, quel est son signe sur les trois zones déterminées par ces racines ?

14. Quelle situation graphique correspond respectivement à $\Delta>0$ , $\Delta=0$ et $\Delta<0$ pour une parabole ?

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QCM : Second degré et trinôme — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour la fonction f(x)=2x2−8x+5f(x)=2x^2-8x+5f(x)=2x2−8x+5, quelles sont les valeurs de α\alphaα et de β\betaβ dans sa forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β ?

2. Quelle description distingue correctement le sommet et l’axe de symétrie d’une parabole de forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β ?

3. Pour le trinôme f(x)=x2−5x+6f(x)=x^2-5x+6f(x)=x2−5x+6, quelle valeur représente une racine ?

4. Quel est le discriminant du trinôme f(x)=3x2−4x+1f(x)=3x^2-4x+1f(x)=3x2−4x+1 ?

5. Combien de racines réelles distinctes possède un trinôme dont le discriminant vérifie Δ>0\Delta>0Δ>0 ?

6. Pour une fonction du second degré écrite sous la forme f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β, à quelle abscisse la fonction change-t-elle de variation ?

7. Une fonction du second degré a-t-elle un minimum ou un maximum lorsque son coefficient directeur aaa est positif, et comment varie-t-elle ?

8. Pour une fonction du second degré dont a<0a<0a<0, quelle description de ses variations et de son extremum est correcte ?

9. Pour un trinôme de discriminant positif Δ>0\Delta>0Δ>0, quelles expressions donnent ses deux racines réelles distinctes ?

10. Un trinôme vérifie Δ=0\Delta=0Δ=0 et possède la racine x0=−b2ax_0=-\frac{b}{2a}x0​=−2ab​. Quelle forme factorisée lui correspond ?

11. Pour un trinôme dont les deux racines réelles distinctes sont x1x_1x1​ et x2x_2x2​, quelle factorisation est correcte ?

12. Les racines d’un trinôme sont x1x_1x1​ et x2x_2x2​. Quelles relations donnent leur somme et leur produit ?

13. Lorsque x1<x2x_1<x_2x1​<x2​ sont deux racines réelles d’un trinôme, quel est son signe sur les trois zones déterminées par ces racines ?

14. Quelle situation graphique correspond respectivement à Δ>0\Delta>0Δ>0, Δ=0\Delta=0Δ=0 et Δ<0\Delta<0Δ<0 pour une parabole ?

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1. Pour la fonction $f(x)=2x^2-8x+5$ , quelles sont les valeurs de $\alpha$ et de $\beta$ dans sa forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

2. Quelle description distingue correctement le sommet et l’axe de symétrie d’une parabole de forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ ?

3. Pour le trinôme $f(x)=x^2-5x+6$ , quelle valeur représente une racine ?

4. Quel est le discriminant du trinôme $f(x)=3x^2-4x+1$ ?

5. Combien de racines réelles distinctes possède un trinôme dont le discriminant vérifie $\Delta>0$ ?

6. Pour une fonction du second degré écrite sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , à quelle abscisse la fonction change-t-elle de variation ?

7. Une fonction du second degré a-t-elle un minimum ou un maximum lorsque son coefficient directeur $a$ est positif, et comment varie-t-elle ?

8. Pour une fonction du second degré dont $a<0$ , quelle description de ses variations et de son extremum est correcte ?

9. Pour un trinôme de discriminant positif $\Delta>0$ , quelles expressions donnent ses deux racines réelles distinctes ?

10. Un trinôme vérifie $\Delta=0$ et possède la racine $x_0=-\frac{b}{2a}$ . Quelle forme factorisée lui correspond ?

11. Pour un trinôme dont les deux racines réelles distinctes sont $x_1$ et $x_2$ , quelle factorisation est correcte ?

12. Les racines d’un trinôme sont $x_1$ et $x_2$ . Quelles relations donnent leur somme et leur produit ?

13. Lorsque $x_1<x_2$ sont deux racines réelles d’un trinôme, quel est son signe sur les trois zones déterminées par ces racines ?

14. Quelle situation graphique correspond respectivement à $\Delta>0$ , $\Delta=0$ et $\Delta<0$ pour une parabole ?