Fiche de révision : Puissances et théorème de Pythagore

📋 Plan du Cours

1. Puissances positives et cas particuliers
2. Puissances négatives et propriétés
3. Puissances de dix et notation scientifique
4. Réciproque et contraposée de Pythagore
5. Théorème de Pythagore
6. Calculs avec les nombres relatifs
7. Divisibilité et nombres premiers

📖 1. Puissances positives et cas particuliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance positive : Produit de n facteurs égaux à a, où n est un entier.

★ À maîtriser

📌 Les parenthèses changent le signe : (-3)⁴ = 81, tandis que -3⁴ = -81.

• Pour un nombre relatif a, on a a¹ = a, a⁰ = 1 si a ≠ 0, 0ⁿ = 0 si n ≠ 0 et 1ⁿ = 1.

Compléments

• Les exemples donnés sont 4⁵ = 1024, (-2)⁷ = 128, 5⁰ = 1 et 0⁵⁴ = 0.

💡 Astuce mémo

(-3)⁴ est positif, alors que -3⁴ est négatif

📖 2. Puissances négatives et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance négative : L’inverse de aⁿ : a⁻ⁿ = 1/aⁿ, avec n facteurs a au dénominateur.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une puissance négative vérifie $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

📐 Formule — Les propriétés indiquées sont $a^{m+n}=a^m+a^n$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ et $(a^m)^n=a^{m\times n}$.

Compléments

• Les exemples sont 12⁶ × 12⁵ = 12¹¹, 4⁵/4⁸ = 4⁻³ et (10⁵)² = 10¹⁰.

💡 Astuce mémo

Exposant négatif → inverse de la puissance positive

📖 3. Puissances de dix et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : Expression a × 10ⁿ dans laquelle 0 < a < 10 et n est un entier relatif.

★ À maîtriser

• Pour un entier positif n, 10ⁿ s’écrit avec n zéros après le 1, tandis que 10⁻ⁿ s’écrit comme un nombre décimal avec n zéros après la virgule avant le 1.

Compléments

• Les conversions données sont 19 780 000 000 = 1,978 × 10¹⁰, 0,00234 = 2,34 × 10⁻³ et 14,6 × 10⁵ = 1,46 × 10⁶.

💡 Astuce mémo

La virgule se déplace et l’exposant compte les déplacements

📖 4. Réciproque et contraposée de Pythagore

★ À maîtriser

📌 Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

• 🔄 Pour tester si un triangle est rectangle, il faut: calculer le carré du plus grand côté, calculer la somme des carrés des deux autres côtés, comparer les deux résultats

Compléments

• Dans le triangle DEF, DE² = 8,7² = 75,69 et DF² + FE² = 6² + 6,3² = 75,69 ; le triangle DEF est donc rectangle en F.

💡 Astuce mémo

Égalité des carrés → rectangle ; inégalité → non-rectangle

📖 5. Théorème de Pythagore

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un triangle ABC rectangle en B, on a $AC^2=AB^2+BC^2$, $AB^2=AC^2-BC^2$ et $BC^2=AC^2-AB^2$.

Compléments

• Dans un triangle ABC rectangle en A avec AB = 24 et AC = 32, on obtient BC² = 1600 puis BC = √1600 = 40.

💡 Astuce mémo

Hypoténuse² = côté² + côté², puis extraction de la racine

📖 6. Calculs avec les nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres opposés : Deux nombres sont opposés si leur somme est égale à 0 ; par exemple, 7 et −7 sont opposés.

📝 Points essentiels

• Pour additionner des nombres relatifs, on additionne deux pertes comme -17 + (-5) = -22 et une perte de 8 avec un gain de 13 comme -8 + (+13) = 5.

• Pour soustraire un nombre relatif, on transforme la soustraction en addition de son opposé : 12 − 41 = 12 + (−41) = −29 et 21 − (−13) = 21 + 13 = 34.

• Le quotient de deux nombres relatifs est positif lorsque les deux nombres ont le même signe et négatif lorsqu’ils ont des signes différents.

• Le produit de plusieurs facteurs relatifs est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair et négatif s’il est impair.

💡 Astuce mémo

Soustraire revient à additionner l’opposé

📖 7. Divisibilité et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Un entier a est divisible par un entier b si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, c’est-à-dire s’il existe un entier q tel que a = b × q.
• Nombre premier : S’il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
• Diviseur commun : Un entier d est un diviseur commun de deux entiers a et b s’il est un diviseur de a et un diviseur de b.

★ À maîtriser

• Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5, et par 10 si son chiffre des unités est 0.

• Un nombre est divisible par 3 ou par 9 lorsque la somme de ses chiffres est respectivement divisible par 3 ou par 9.

Compléments

• 0 n’est pas premier car il possède une infinité de diviseurs, 1 n’est pas premier car il n’a qu’un diviseur, et il existe une infinité de nombres premiers.

• Le crible d’Ératosthène permet de trouver les nombres premiers en rayant les multiples de 2, puis ceux de 3 et ainsi de suite ; les nombres restants sont premiers.

💡 Astuce mémo

Division exacte → diviseurs communs → nombres premiers

📊 Tableaux de synthèse

Critères de divisibilité