Fiche de révision : Équations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Discriminant et racines
2. Formes et variations des paraboles
3. Signe et position des courbes
4. Résolution par méthodes rapides
5. Applications aux problèmes
6. Somme et produit des racines
7. Polynôme construit avec ses racines

📖 1. Discriminant et racines

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour un polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

• Si $\Delta>0$, l’équation admet deux racines réelles $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Si $\Delta=0$, l’équation admet une unique racine réelle $x_0=\frac{-b}{2a}$.

• Si $\Delta<0$, l’équation n’admet aucune racine réelle.

💡 Astuce mémo

Δ positif : deux racines ; Δ nul : une racine ; Δ négatif : aucune racine réelle

📖 2. Formes et variations des paraboles

★ À maîtriser

📐 Formule - La forme canonique d’un polynôme du second degré s’obtient par complétion du carré ; par exemple, $3x^2+12x+2=3(x+2)^2-10$.

📌 Si le coefficient du terme du second degré est positif, la parabole admet un minimum ; s’il est négatif, elle admet un maximum.

Compléments

• Pour $h(x)=4x^2+2x+1$, le sommet est atteint pour $x=-\frac14$ et la valeur minimale est $\frac34$, donc la fonction ne s’annule pas.

💡 Astuce mémo

Une parabole tourne autour de son sommet : minimum si a>0, maximum si a<0

📖 3. Signe et position des courbes

★ À maîtriser

📌 Un polynôme du second degré de discriminant négatif garde le signe de son coefficient du second degré sur $\mathbb{R}$.

📌 Pour comparer deux courbes, on étudie le signe de la différence de leurs expressions : si $f(x)-g(x)>0$, alors $C_f$ est au-dessus de $C_g$, et si $f(x)-g(x)<0$, alors $C_f$ est au-dessous.

Compléments

• Pour la différence $-\frac92x^2+9x-4$, les racines sont $\frac23$ et $\frac43$, et comme le coefficient dominant est négatif, $C_f$ est au-dessus de $C_g$ sur $\left]\frac23;\frac43\right[$.

💡 Astuce mémo

Le signe du polynôme-déférence détermine la courbe située au-dessus

📖 4. Résolution par méthodes rapides

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation du second degré dont une solution est évidente, on teste des valeurs entières, on utilise la somme ou le produit des racines pour trouver l’autre racine, puis on factorise le polynôme.

Compléments

• Pour $-x^2+4x+5=0$, la racine évidente est $-1$, l’autre racine est $5$ et $-x^2+4x+5=-(x+1)(x-5)$.

💡 Astuce mémo

Racine évidente → autre racine → factorisation

📖 5. Applications aux problèmes

★ À maîtriser

• Pour résoudre un problème d’aire, on exprime d’abord les aires élémentaires, on calcule l’aire recherchée en fonction de x, puis on résout l’équation obtenue en tenant compte des valeurs admissibles.

Compléments

• Dans le rectangle de dimensions 7 cm et 5 cm, l’aire hachurée vaut $A=2x^2-12x+35$ et elle est égale à 25 cm² pour $x=1$ ou $x=5$.

📖 6. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $P(x)=ax^2+bx+c$ admet deux racines, leur somme vaut $x_1+x_2=-\frac ba$ et leur produit vaut $x_1x_2=\frac ca$.

📌 Il existe deux réels u et v tels que $u+v=s$ et $uv=p$ si et seulement si $s^2-4p\geq0$ ; ils sont alors les solutions de $x^2-sx+p=0$.

Compléments

• Le système $x+y=30$ et $xy=200$ se résout avec $X^2-30X+200=0$ et admet les couples $(10{,}20)$ et $(20{,}10)$.

💡 Astuce mémo

SOMME = −b/a ; PRODUIT = c/a

📖 7. Polynôme construit avec ses racines

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si un polynôme du second degré a pour racines u et v, alors, avec $s=u+v$ et $p=uv$, il s’écrit $P(x)=a(x^2-sx+p)$ avec $a\ne0$.

📐 Formule - Avec deux racines u et v, la forme factorisée correspondante est $P(x)=a(x-u)(x-v)$, où a est le coefficient dominant.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant