Fiche de révision : Mathématiques élémentaires — Partie 1

📋 Plan du Cours

1. Nombres réels et propriétés fondamentales
2. Suites numériques et convergence
3. Fonctions usuelles et propriétés
4. Limites et continuité
5. Dérivation et théorèmes généraux
6. Primitives et intégration
7. Intégrales rationnelles et trigonométriques
8. Intégration des fonctions trigonométriques
9. Intégrale définie et sommes de Riemann
10. Formules de Taylor et développements limités
11. Équations différentielles linéaires

📖 1. Nombres réels et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Les nombres qui s’écrivent $\frac{p}{q}$ avec $p\in\mathbb Z$ et $q\in\mathbb N^*$.
• Borne supérieure : Le plus petit majorant d’une partie réelle majorée, noté $\sup A$.

★ À maîtriser

• Le nombre $\sqrt2$ est irrationnel, car il représente la longueur de la diagonale d’un carré de côté unité et ne peut pas s’écrire comme quotient de deux entiers.

Compléments

• Les nombres rationnels sont denses dans les nombres réels : pour tout $x\in\mathbb R$ et tout $\varepsilon>0$, il existe un rationnel $\frac pq$ tel que $\left|x-\frac pq\right|<\varepsilon$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Suites numériques et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite convergente : Une suite réelle $(u_n)$ converge vers $\ell\in\mathbb R$ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N\in\mathbb N$ tel que $n>N$ implique $|u_n-\ell|\leq\varepsilon$.
• Suites adjacentes : Deux suites sont adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante, et si leur différence converge vers zéro.

📝 Points essentiels

📌 Si $u_n\to\ell_1$ et $v_n\to\ell_2$, alors $u_n+v_n\to\ell_1+\ell_2$ et $u_nv_n\to\ell_1\ell_2$, et si $\ell_2\neq0$ alors $\frac{u_n}{v_n}\to\frac{\ell_1}{\ell_2}$.

📌 Le théorème des encadrements affirme que si $u_n\leq v_n\leq w_n$ à partir d’un certain rang et si $u_n$ et $w_n$ ont la même limite, alors $v_n$ a cette limite.

💡 Astuce mémo

Croissante majorée : convergence ; croissante non majorée : +∞

📖 3. Fonctions usuelles et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réelle : Une application définie sur une partie de $\mathbb R$ et à valeurs dans $\mathbb R$.
• Fonction bijective : Une fonction $f:I\to J$ est bijective si tout élément de $J$ possède un unique antécédent dans $I$.
• Fonction convexe : Une fonction est convexe sur $I$ si, pour tous $x,y\in I$ et $\lambda\in[0{,}1]$, $f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$.

★ À maîtriser

• La fonction logarithme est une bijection croissante de $]0,+\infty[$ sur $\mathbb R$, de réciproque la fonction exponentielle.

Compléments

• Les fonctions sinus, cosinus et tangente réalisent respectivement des bijections de $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ vers $[-1{,}1]$, de $[0,\pi]$ vers $[-1{,}1]$ et de $]-\frac\pi2,\frac\pi2[$ vers $\mathbb R$.

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie par rapport à Oy ; impaire : symétrie centrale

📖 4. Limites et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en un point : Une fonction $f$ tend vers $\ell$ en $x_0$ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\eta>0$ tel que $|x-x_0|<\eta$ et $x\neq x_0$ impliquent $|f(x)-\ell|<\varepsilon$.

📝 Points essentiels

📌 Si $f_1(x)\leq f(x)\leq f_2(x)$ près de $x_0$ et si $f_1$ et $f_2$ tendent vers la même limite $\ell$, alors $f$ tend vers $\ell$.

• Lorsque $x\to+\infty$, toute puissance positive de $x$ domine toute puissance positive de $\ln x$, et toute exponentielle $e^{\gamma x}$ avec $\gamma>0$ domine toute puissance de $x$.

📌 Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ atteint un minimum et un maximum.

💡 Astuce mémo

Continuité + monotonie stricte → bijection continue

📖 5. Dérivation et théorèmes généraux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé de $f$ en $x_0$ est la limite, si elle existe, du taux d’accroissement $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ lorsque $h\to0$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La dérivée d’un produit vérifie $(fg)'=f'g+fg'$, et celle d’un quotient vérifie $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ lorsque $g\neq0$.

📐 Formule - La dérivée d’une composée vérifie $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x)$.

📌 Le théorème des accroissements finis affirme qu’il existe $c\in]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$.

📌 Si une fonction dérivable possède un extremum local en $x_0$, alors $f'(x_0)=0$; si elle est deux fois dérivable, $f''(x_0)<0$ indique un maximum local et $f''(x_0)>0$ un minimum local.

💡 Astuce mémo

Rolle → accroissements finis → extrema

📖 6. Primitives et intégration

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ vérifiant $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in I$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - L’intégration par parties s’écrit $\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx$.

📐 Formule - Le changement de variable vérifie $\int f(u(x))u'(x)\,dx=F(u(x))+C$ lorsque $F'=f$.

📐 Formule - Pour une fonction possédant une primitive $F$, l’intégrale entre $a$ et $b$ vaut $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$.

💡 Astuce mémo

Décomposer, substituer, intégrer

📖 7. Intégrales rationnelles et trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction rationnelle : Une fonction rationnelle est une expression $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ où $P$ et $Q$ sont des polynômes réels et $Q\not\equiv0$.

★ À maîtriser

• La primitive d’une fonction rationnelle se calcule en effectuant successivement la division euclidienne si nécessaire, la décomposition en éléments simples, puis l’intégration des fractions obtenues.

Compléments

📐 Formule - Pour une intégrale trigonométrique rationnelle, le changement $u=\tan\frac x2$ donne $\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}$, $\sin x=\frac{2u}{1+u^2}$ et $dx=\frac{2\,du}{1+u^2}$.

• Pour intégrer $\sin^m x\cos^n x$, on utilise un changement de variable associé à la puissance impaire ou, lorsque les deux puissances sont paires, on transforme les puissances en sommes de cosinus d’angles multiples.

💡 Astuce mémo

Division euclidienne → éléments simples → primitives

📖 8. Intégration des fonctions trigonométriques

★ À maîtriser

• Pour intégrer une fonction rationnelle en sinus et cosinus, on peut poser u = sin x ou u = cos x dans les cas particuliers, et de façon générale u = tan(x/2), avec $\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}$, $\sin x=\frac{2u}{1+u^2}$ et $dx=\frac{2\,du}{1+u^2}$.

Compléments

• Avec u = sin x, une primitive de $\sin^2x\cos^3x$ est $\frac{\sin^3x}{3}-\frac{\sin^5x}{5}+C$.

📐 Formule - La réduction des puissances paires s’écrit notamment $\sin^{2k}x=\frac{(-1)^k}{2^{2k}}\sum_{j=0}^{2k}(-1)^j\binom{2k}{j}\cos\bigl(2(k-j)x\bigr)$ et $\cos^{2\ell}x=\frac{1}{2^{2\ell}}\sum_{j=0}^{2\ell}\binom{2\ell}{j}\cos\bigl(2(\ell-j)x\bigr)$.

📐 Formule - La relation $\cos\alpha\cos\beta=\frac12\bigl(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\bigr)$ permet de transformer un produit de cosinus en somme de cosinus intégrables terme à terme.

💡 Astuce mémo

Substitution simple → réduction trigonométrique → changement universel

📖 9. Intégrale définie et sommes de Riemann

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale définie : Le nombre $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$, où F est une primitive de f sur l’intervalle considéré.

📝 Points essentiels

📌 La relation de Chasles donne $\int_a^c f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx$ et implique $\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$.

• Une somme de Riemann se construit en divisant [a,b] en sous-intervalles, en choisissant un point dans chacun, puis en additionnant les produits de la valeur de f en ce point par la longueur du sous-intervalle.

📐 Formule - Pour une subdivision $\Delta$ de [a,b], sa finesse est $\|\Delta\|=\max_j(x_{j+1}-x_j)$ et l’intégrale géométrique vérifie $\int_{[a,b]}f(x)\,dx=\lim_{\|\Delta\|\to0}S(f;\Delta,\widetilde\Delta)$.

📐 Formule - Pour toute fonction continue f sur un intervalle I et tout a dans I, la fonction $x\mapsto\int_a^x f(t)\,dt$ est dérivable et vérifie $\frac{d}{dx}\left(\int_a^x f(t)\,dt\right)=f(x)$.

💡 Astuce mémo

Subdivisions de plus en plus fines → somme de Riemann → intégrale

📖 10. Formules de Taylor et développements limités

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme de Taylor : Le polynôme de Taylor d’ordre n de f au point a est $T_n(f,a;x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$.

★ À maîtriser

📌 Le polynôme de Taylor d’ordre n est l’unique polynôme de degré au plus n dont les dérivées jusqu’à l’ordre n en a coïncident avec celles de f.

📐 Formule - La formule de Taylor avec reste intégral est $R_n(f,a;x)=\int_a^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt$ lorsque f est de classe $C^{n+1}$.

📐 Formule - La formule de Taylor-Lagrange affirme qu’il existe c entre a et x tel que $R_n(f,a;x)=\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)$.

📐 Formule - Le développement limité d’ordre n en a s’écrit $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o((x-a)^n)$.

Compléments

• Au voisinage de zéro, les développements usuels comprennent $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+x^n\varepsilon(x)$, $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots$ et $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots$, avec $\varepsilon(x)\to0$.

💡 Astuce mémo

Reste intégral, reste de Lagrange ou petit-o : trois contrôles de l’erreur

📖 11. Équations différentielles linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle : Une relation entre une fonction inconnue définie sur un intervalle réel et ses dérivées successives.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Les solutions de l’équation homogène du premier ordre $y'(x)+a(x)y(x)=0$ sont $y(x)=Ce^{-A(x)}$, où A est une primitive de a et C est une constante réelle.

📐 Formule - Pour la condition initiale $y(x_0)=c_0$, l’unique solution de l’équation homogène du premier ordre est $y(x)=c_0e^{-\int_{x_0}^{x}a(t)\,dt}$.

• Pour résoudre $y'+a(x)y=b(x)$ par variation de la constante, on pose $y(x)=C(x)e^{-A(x)}$ avec $A'=a$, puis on obtient $C'(x)=e^{A(x)}b(x)$.

📐 Formule - Pour l’équation homogène du second ordre $ay''+by'+cy=0$, l’équation caractéristique est $aX^2+bX+c=0$ et la forme des solutions dépend du discriminant $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta>0$, les solutions sont $C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$ ; si $\Delta=0$, elles sont $(C_1x+C_2)e^{\lambda x}$ ; si $\Delta<0$, elles sont $(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x))e^{\alpha x}$.

📌 Pour une équation linéaire non homogène du second ordre, toute solution s’écrit comme la somme d’une solution particulière et de la solution générale de l’équation homogène associée.

💡 Astuce mémo

Homogène : second membre nul ; non homogène : solution particulière + homogène

📊 Tableaux de synthèse

Types de convergence des suites

Formes des solutions du second ordre