Flashcards : Mathématiques élémentaires — Partie 1 (74 cartes)

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1Question

Comment s'écrit un nombre rationnel ?

Réponse

Comme un quotient $\frac{p}{q}$ avec $p\in\mathbb{Z}$ et $q\in\mathbb{N}^*$ .

2Question

Pourquoi $\sqrt{2}$ est-il un nombre irrationnel ?

Réponse

Parce qu'il ne peut pas s'écrire comme quotient de deux entiers.

3Question

Que représente $\sqrt{2}$ en géométrie ?

Réponse

La longueur de la diagonale d'un carré de côté unité.

4Question

Qu'est-ce que la borne supérieure d'une partie réelle majorée ?

Réponse

Son plus petit majorant.

5Question

Comment note-t-on la borne supérieure d'une partie réelle ?

Réponse

$\sup A$ .

6Question

Quelle est la condition pour qu'une suite réelle converge vers ℓ ?

Réponse

Pour tout ε>0, il existe N tel que n>N implique |u_n−ℓ|≤ε.

7Question

Que devient la somme de suites convergentes u_n→ℓ₁ et v_n→ℓ₂ ?

Réponse

Elle converge vers ℓ₁+ℓ₂.

8Question

Que devient le produit de suites convergentes u_n→ℓ₁ et v_n→ℓ₂ ?

Réponse

Il converge vers ℓ₁ℓ₂.

9Question

Quelle limite a le quotient u_n/v_n si u_n→ℓ₁, v_n→ℓ₂≠0 ?

Réponse

Il converge vers ℓ₁/ℓ₂.

10Question

Que dit le théorème des encadrements pour u_n≤v_n≤w_n ?

Réponse

Si u_n et w_n ont la même limite, alors v_n a cette limite.

11Question

Qu'est-ce qu'une fonction réelle ?

Réponse

Une application définie sur une partie de ℝ à valeurs dans ℝ.

12Question

Qu'impose la bijectivité d'une fonction $f:I\to J$ ?

Réponse

Chaque élément de J possède un unique antécédent dans I.

13Question

Quelle inégalité caractérise une fonction convexe sur un intervalle I ?

Réponse

$f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$ pour tous x,y∈I et $\lambda\in[0,1]$ .

14Question

Quelle propriété de la fonction logarithme est vraie sur $]0,+\infty[$ ?

Réponse

Elle est une bijection croissante de $]0,+\infty[$ sur ℝ.

15Question

Quelle est la fonction réciproque du logarithme ?

Réponse

La fonction exponentielle.

16Question

Quelle condition définit la limite d'une fonction en un point ?

Réponse

Pour tout ε>0, il existe η>0 tel que |x-x₀|<η et x≠x₀ impliquent |f(x)-ℓ|<ε.

17Question

Quelle inégalité doit être satisfaite pour appliquer le théorème des gendarmes ?

Réponse

f₁(x) ≤ f(x) ≤ f₂(x) près de x₀.

18Question

Que se passe-t-il si f₁ et f₂ tendent vers la même limite ℓ ?

Réponse

Alors f tend vers ℓ.

19Question

Quelle fonction domine toute puissance positive de ln(x) quand x→+∞ ?

Réponse

Toute puissance positive de x.

20Question

Quelle fonction domine toute puissance positive de x quand x→+∞ ?

Réponse

Toute exponentielle $e^{γx}$ avec γ>0.

21Question

Que garantit la continuité d'une fonction sur un segment [a,b] ?

Réponse

Elle atteint un minimum et un maximum.

22Question

Qu'est-ce que le nombre dérivé de f en x₀ ?

Réponse

La limite du taux d’accroissement $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ quand $h\to0$ .

23Question

Quelle formule donne la dérivée du produit de deux fonctions f et g ?

Réponse

$(fg)'=f'g+fg'$

24Question

Quelle formule exprime la dérivée du quotient $\frac{f}{g}$ avec $g\neq0$ ?

Réponse

$\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$

25Question

Comment s'exprime la dérivée d'une composée $g\circ f$ en x ?

Réponse

$(g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x)$

26Question

Que garantit le théorème des accroissements finis pour f sur [a,b] ?

Réponse

Il existe $c\in]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$ .

27Question

Quelle condition doit vérifier f'(x₀) si f a un extremum local en x₀ ?

Réponse

$f'(x_0)=0$

28Question

Que signifie $f''(x_0)<0$ pour un extremum local de f deux fois dérivable ?

Réponse

Un maximum local.

29Question

Que signifie $f''(x_0)>0$ pour un extremum local de f deux fois dérivable ?

Réponse

Un minimum local.

30Question

Qu'est-ce qu'une primitive de la fonction $f$ sur un intervalle $I$ ?

Réponse

Une fonction $F$ telle que $F'(x)=f(x)$ pour tout $x \,\in \, I$ .

31Question

Quelle est la formule de l’intégration par parties ?

Réponse

$\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx$ .

32Question

Quelle formule exprime le changement de variable en intégration ?

Réponse

$\int f(u(x))u'(x)\,dx = F(u(x)) + C$ lorsque $F' = f$ .

33Question

Comment calcule-t-on l’intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ si $F$ est une primitive ?

Réponse

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ .

34Question

Qu'est-ce qu'une fonction rationnelle en mathématiques?

Réponse

Une expression $R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ avec $P$ et $Q$ polynômes réels et $Q\not\equiv0$ .

35Question

Quelles étapes suivent pour calculer la primitive d'une fonction rationnelle?

Réponse

Division euclidienne, décomposition en éléments simples, puis intégration des fractions.

36Question

Quelle substitution générale utilise-t-on pour intégrer une fonction rationnelle en sinus et cosinus ?

Réponse

On pose $u=\tan(x/2)$ .

37Question

Quelle est la définition de l’intégrale définie de f entre a et b ?

Réponse

C’est $\textstyleigintsss_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ où F est une primitive de f.

38Question

Quelle relation exprime la relation de Chasles pour l’intégrale ?

Réponse

$\textstyleigintsss_a^c f(x)\,dx=\bigintsss_a^b f(x)\,dx+\bigintsss_b^c f(x)\,dx$

39Question

Quelle conséquence implique la relation de Chasles sur l’ordre des bornes ?

Réponse

$\bigintsss_a^b f(x)\,dx=-\bigintsss_b^a f(x)\,dx$

40Question

Comment construit-on une somme de Riemann sur [a,b] ?

Réponse

On divise [a,b] en sous-intervalles, choisit un point dans chacun, puis somme les produits de f en ce point par la longueur du sous-intervalle.

41Question

Comment se définit la finesse d’une subdivision $\Delta$ de [a,b] ?

Réponse

C’est $\|\Delta\|=\max_j(x_{j+1}-x_j)$ .

42Question

Quelle est la limite qui définit l’intégrale géométrique selon la finesse ?

Réponse

$\textstyle\int_{[a,b]} f(x)\,dx=\lim_{\|\Delta\|\to0} S(f;\Delta,\widetilde\Delta)$ .

43Question

Quelle propriété dérivable possède la fonction $x\mapsto\int_a^x f(t)\,dt$ pour f continue ?

Réponse

Elle est dérivable et sa dérivée est $f(x)$ .

44Question

Quelle formule exprime la dérivée de $\int_a^x f(t)\,dt$ ?

Réponse

$\frac{d}{dx}\left(\int_a^x f(t)\,dt\right)=f(x)$ .

45Question

Quelle est la formule du polynôme de Taylor d'ordre n au point a ?

Réponse

$T_n(f,a;x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ .

46Question

Quelle propriété caractérise le polynôme de Taylor d'ordre n ?

Réponse

Il est l'unique polynôme de degré au plus n avec mêmes dérivées jusqu'à l'ordre n en a.

47Question

Quelle est la formule du reste intégral dans la formule de Taylor ?

Réponse

$R_n(f,a;x)=\int_a^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt$ .

48Question

Quelle condition doit satisfaire la fonction pour la formule du reste intégral ?

Réponse

La fonction doit être de classe $C^{n+1}$ .

49Question

Que dit la formule de Taylor-Lagrange sur le reste ?

Réponse

Il existe c entre a et x tel que $R_n(f,a;x)=\frac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)$ .

50Question

Comment s'écrit le développement limité d'ordre n en a ?

Réponse

$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+o((x-a)^n)$ .

51Question

Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?

Réponse

Une relation entre une fonction inconnue et ses dérivées successives.

52Question

Quelle est la forme générale des solutions de $y'+a(x)y=0$ ?

Réponse

$y(x)=Ce^{-A(x)}$ où $A$ est une primitive de $a$ .

53Question

Quelle est la solution unique de $y'+a(x)y=0$ avec $y(x_0)=c_0$ ?

Réponse

$y(x)=c_0e^{-\int_{x_0}^x a(t) dt}$ .

54Question

Quelle substitution utilise-t-on pour résoudre $y'+a(x)y=b(x)$ par variation de la constante ?

Réponse

On pose $y(x)=C(x)e^{-A(x)}$ avec $A'=a$ .

55Question

Quelle équation caractéristique correspond à $ay''+by'+cy=0$ ?

Réponse

$aX^2+bX+c=0$ .

56Question

De quoi dépend la forme des solutions de $ay''+by'+cy=0$ ?

Réponse

Du discriminant $\Delta=b^2-4ac$ .

57Question

Comment sont les solutions si $\Delta>0$ pour $ay''+by'+cy=0$ ?

Réponse

$C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}$ .

58Question

Comment s'écrit toute solution d'une équation linéaire non homogène du second ordre ?

Réponse

Comme la somme d'une solution particulière et de la solution générale homogène.

59Question

Que signifie que les rationnels sont denses dans les réels ?

Réponse

Entre tout réel $x$ et tout $\varepsilon>0$ , il existe un rationnel $\frac{p}{q}$ avec $|x-\frac{p}{q}|<\varepsilon$ .

60Question

Quelles sont les conditions pour que deux suites soient adjacentes ?

Réponse

L’une est croissante, l’autre décroissante, et leur différence tend vers zéro.

61Question

Quelle bijection réalise la fonction sinus ?

Réponse

Une bijection de $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ vers $[-1,1]$ .

62Question

Quelle bijection réalise la fonction cosinus ?

Réponse

Une bijection de $[0,\pi]$ vers $[-1,1]$ .

63Question

Quelle bijection réalise la fonction tangente ?

Réponse

Une bijection de $]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[$ vers ℝ.

64Question

Quel changement de variable utilise-t-on pour une intégrale trigonométrique rationnelle?

Réponse

On pose $u=\tan\frac x2$ .

65Question

Comment s'exprime $\cos x$ en fonction de $u=\tan\frac x2$ ?

Réponse

$\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}$ .

66Question

Comment s'exprime $\sin x$ en fonction de $u=\tan\frac x2$ ?

Réponse

$\sin x=\frac{2u}{1+u^2}$ .

67Question

Comment s'exprime $dx$ en fonction de $du$ et $u=\tan\frac x2$ ?

Réponse

$dx=\frac{2\,du}{1+u^2}$ .

68Question

Quelle méthode utilise-t-on pour intégrer $\sin^m x\cos^n x$ quand une puissance est impaire?

Réponse

Un changement de variable associé à la puissance impaire.

69Question

Que fait-on pour intégrer $\sin^m x\cos^n x$ lorsque les deux puissances sont paires?

Réponse

On transforme les puissances en sommes de cosinus d’angles multiples.

70Question

Quelle primitive obtient-on avec la substitution $u=\sin x$ pour $\sin^2x\cos^3x$ ?

Réponse

$\frac{\sin^3x}{3}-\frac{\sin^5x}{5}+C$ .

71Question

Comment s'écrit la réduction des puissances paires de sinus $\sin^{2k}x$ ?

Réponse

$\sin^{2k}x=\frac{(-1)^k}{2^{2k}}\sum_{j=0}^{2k}(-1)^j\binom{2k}{j}\cos\bigl(2(k-j)x\bigr)$ .

72Question

Comment s'exprime la réduction des puissances paires de cosinus $\cos^{2\ell}x$ ?

Réponse

$\cos^{2\ell}x=\frac{1}{2^{2\ell}}\sum_{j=0}^{2\ell}\binom{2\ell}{j}\cos\bigl(2(\ell-j)x\bigr)$ .

73Question

Quelle relation transforme un produit de cosinus en somme de cosinus ?

Réponse

$\cos\alpha\cos\beta=\frac12\bigl(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\bigr)$ .

74Question

Quels sont les développements limités usuels au voisinage de zéro pour $e^x$ , $\sin x$ et $\cos x$ ?

Réponse

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+x^n\varepsilon(x)$ , $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots$ , $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\cdots$ avec $\varepsilon(x)\to0$ .

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Teste tes connaissances avec un QCM de 34 questions sur Mathématiques élémentaires — Partie 1.

1. Concernant les nombres rationnels :

2. Parmi les propositions suivantes concernant $\sqrt2$ , la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

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