QCM : Mathématiques élémentaires — Partie 1 (34 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les nombres rationnels :

Le quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul, définit un nombre rationnel.
Tout nombre rationnel s’écrit sous la forme pq\frac{p}{q} avec p∈Zp\in\mathbb Z et q∈N∗q\in\mathbb N^*.
Le numérateur d’une écriture rationnelle appartient aux entiers relatifs.
Le dénominateur d’une écriture rationnelle peut être choisi comme un entier naturel strictement positif.
Les nombres rationnels sont représentables par des fractions de deux entiers.

Le quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul, définit un nombre rationnel. · Tout nombre rationnel s’écrit sous la forme $$\frac{p}{q}$$ avec $$p\in\mathbb Z$$ et $$q\in\mathbb N^*$$. · Le numérateur d’une écriture rationnelle appartient aux entiers relatifs. · Le dénominateur d’une écriture rationnelle peut être choisi comme un entier naturel strictement positif. · Les nombres rationnels sont représentables par des fractions de deux entiers.

Explication

Les nombres rationnels sont précisément les quotients pq\frac{p}{q} où pp est entier relatif et qq entier naturel non nul. Les cinq formulations décrivent cette caractérisation, notamment la condition imposée au dénominateur.

2. Parmi les propositions suivantes concernant 2\sqrt2, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le nombre 2\sqrt2 peut s’écrire comme quotient de deux entiers.
Le nombre 2\sqrt2 est un nombre irrationnel.
Le nombre 2\sqrt2 représente la diagonale d’un carré de côté unité.
Les nombres rationnels et 2\sqrt2 appartiennent tous à la même catégorie numérique.
L’irrationalité de 2\sqrt2 provient de son appartenance aux nombres rationnels.

Le nombre $$\sqrt2$$ est un nombre irrationnel. · Le nombre $$\sqrt2$$ représente la diagonale d’un carré de côté unité. · Les nombres rationnels et $$\sqrt2$$ appartiennent tous à la même catégorie numérique.

Explication

2\sqrt2 est irrationnel et correspond à la diagonale d’un carré de côté unité. Il ne s’écrit pas comme quotient de deux entiers et n’appartient donc pas à la catégorie des rationnels ; la formulation finale est ainsi fausse.

3. La borne supérieure d’une partie réelle majorée :

Est nécessairement un élément de la partie considérée.
Se note généralement sup⁡A\sup A pour une partie notée AA.
Peut ne pas appartenir à la partie dont elle constitue la borne supérieure.
Est le plus petit des majorants de la partie considérée.
Coïncide avec le maximum dès qu’une partie réelle est majorée.

Se note généralement $$\sup A$$ pour une partie notée $$A$$. · Peut ne pas appartenir à la partie dont elle constitue la borne supérieure. · Est le plus petit des majorants de la partie considérée.

Explication

La borne supérieure est le plus petit majorant et se note sup⁡A\sup A. Elle peut être extérieure à l’ensemble, contrairement au maximum ; elle n’est donc pas nécessairement un élément de la partie et ne coïncide pas systématiquement avec son maximum.

4. Une suite réelle (un)(u_n) converge vers ℓ\ell lorsque :

Les termes de la suite deviennent, à partir d’un certain rang, suffisamment proches de ℓ\ell.
L’entier NN peut dépendre de la précision ε\varepsilon choisie.
La condition de convergence concerne chaque précision ε\varepsilon strictement positive.
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe N∈NN\in\mathbb N tel que n>Nn>N implique ∣un−ℓ∣≤ε|u_n-\ell|\leq\varepsilon.
La convergence est définie par une distance à ℓ\ell inférieure ou égale à toute précision imposée.

Les termes de la suite deviennent, à partir d’un certain rang, suffisamment proches de $$\ell$$. · L’entier $$N$$ peut dépendre de la précision $$\varepsilon$$ choisie. · La condition de convergence concerne chaque précision $$\varepsilon$$ strictement positive. · Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe $$N\in\mathbb N$$ tel que $$n>N$$ implique $$|u_n-\ell|\leq\varepsilon$$. · La convergence est définie par une distance à $$\ell$$ inférieure ou égale à toute précision imposée.

Explication

La définition de la convergence exige que, pour toute précision ε>0\varepsilon>0, un rang NN permette d’obtenir ∣un−ℓ∣≤ε|u_n-\ell|\leq\varepsilon pour tout n>Nn>N. Le rang peut donc dépendre de ε\varepsilon, et les autres formulations en donnent des reformulations correctes.

5. Concernant les opérations sur les limites de suites, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La condition de non-nullité concerne également la règle de passage à la limite pour une somme.
Le quotient converge vers le quotient des limites lorsque la limite du dénominateur est non nulle.
La somme de deux suites convergentes converge vers la somme de leurs limites.
Le quotient de deux suites convergentes admet toujours une limite quotient.
Le produit de deux suites convergentes converge vers le produit de leurs limites.

Le quotient converge vers le quotient des limites lorsque la limite du dénominateur est non nulle. · La somme de deux suites convergentes converge vers la somme de leurs limites. · Le produit de deux suites convergentes converge vers le produit de leurs limites.

Explication

La somme et le produit de suites convergentes suivent respectivement les opérations correspondantes sur leurs limites. Pour un quotient, la limite du dénominateur doit être non nulle ; cette condition ne s’applique pas à la somme.

6. Si un≤vn≤wnu_n\leq v_n\leq w_n à partir d’un certain rang, le théorème des encadrements permet de conclure que :

Une seule suite, unu_n ou wnw_n, suffit à déterminer la limite de vnv_n.
Les suites bornes doivent avoir des limites différentes pour appliquer le théorème.
La suite vnv_n converge lorsque unu_n et wnw_n convergent vers une même limite.
L’inégalité d’encadrement doit être vérifiée dès le premier terme de chaque suite.
La limite commune des deux suites bornes est aussi celle de vnv_n.

Une seule suite, $$u_n$$ ou $$w_n$$, suffit à déterminer la limite de $$v_n$$. · La suite $$v_n$$ converge lorsque $$u_n$$ et $$w_n$$ convergent vers une même limite. · La limite commune des deux suites bornes est aussi celle de $$v_n$$.

Explication

Le théorème exige un encadrement à partir d’un certain rang et deux suites bornes ayant la même limite ; la suite intermédiaire possède alors cette limite. Une seule borne ou deux limites différentes ne suffisent pas, et l’inégalité n’a pas à commencer au premier rang.

7. À propos d’une fonction réelle, la(les)quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) ?

Une fonction réelle associe des réels de son domaine à des réels.
L’image d’une fonction regroupe les valeurs obtenues.
Une fonction réelle est définie sur une partie de R\mathbb R.
Le domaine de définition regroupe les antécédents possibles.
Une fonction réelle prend ses valeurs dans R\mathbb R.

Une fonction réelle associe des réels de son domaine à des réels. · L’image d’une fonction regroupe les valeurs obtenues. · Une fonction réelle est définie sur une partie de $$\mathbb R$$. · Le domaine de définition regroupe les antécédents possibles. · Une fonction réelle prend ses valeurs dans $$\mathbb R$$.

Explication

Une fonction réelle est une application définie sur une partie de R\mathbb R et à valeurs dans R\mathbb R. Les éléments du domaine sont les antécédents possibles, tandis que les valeurs effectivement obtenues constituent l’image.

8. Une fonction f:I→Jf:I\to J est bijective si :

Tout élément de JJ possède un unique antécédent dans II.
Un élément de JJ peut ne posséder aucun antécédent dans II.
La fonction est surjective sans qu’une condition d’unicité soit requise.
La fonction est injective, sans que chaque élément de JJ ait un antécédent.
Tout élément de JJ possède au moins deux antécédents dans II.

Tout élément de $$J$$ possède un unique antécédent dans $$I$$.

Explication

Une fonction f:I→Jf:I\to J est bijective lorsque chaque élément de JJ possède un unique antécédent dans II. L’existence d’un antécédent dans JJ ne correspond pas à cette définition. L’injectivité sans existence d’un antécédent pour chaque élément de JJ ne suffit pas non plus. La surjectivité garantit l’existence d’un antécédent, mais pas son unicité, tandis que la bijectivité impose ces deux conditions.

9. Concernant la convexité d’une fonction sur II :

La convexité est caractérisée par une inégalité opposée entre les mêmes expressions.
La condition s’applique à des coefficients λ\lambda extérieurs à l’intervalle [0,1][0,1].
Pour x,y∈Ix,y\in I et λ∈[0,1]\lambda\in[0,1], on a f((1−λ)x+λy)≤(1−λ)f(x)+λf(y)f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y).
La combinaison (1−λ)x+λy (1-\lambda)x+\lambda y intervient dans l’argument de la fonction.
La relation de convexité compare les images avec une combinaison non pondérée des arguments.

Pour $$x,y\in I$$ et $$\lambda\in[0,1]$$, on a $$f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$$. · La combinaison $$ (1-\lambda)x+\lambda y $$ intervient dans l’argument de la fonction.

Explication

La convexité impose, pour tous x,y∈Ix,y\in I et λ∈[0,1]\lambda\in[0,1], l’inégalité donnée entre l’image du barycentre et le barycentre des images. L’inégalité n’est pas inversée, les coefficients appartiennent à [0,1][0,1] et la comparaison porte sur une combinaison pondérée des valeurs.

10. Les propriétés de la fonction logarithme comprennent :

Elle réalise une bijection de ]0,+∞[]0,+\infty[ sur R\mathbb R.
La fonction logarithme est définie sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
La fonction logarithme est une bijection croissante.
La fonction logarithme prend ses valeurs dans R\mathbb R.
Sa fonction réciproque est la fonction exponentielle.

Elle réalise une bijection de $$]0,+\infty[$$ sur $$\mathbb R$$. · La fonction logarithme est définie sur $$]0,+\infty[$$. · La fonction logarithme est une bijection croissante. · La fonction logarithme prend ses valeurs dans $$\mathbb R$$. · Sa fonction réciproque est la fonction exponentielle.

Explication

Le logarithme réalise une bijection croissante de ]0,+∞[]0,+\infty[ vers R\mathbb R. Sa réciproque est l’exponentielle ; son domaine, son ensemble d’arrivée et sa monotonie sont donc ceux indiqués.

11. Concernant la définition de la limite d’une fonction en un point, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La définition impose que f(x0) soit égal à la limite ℓ.
La limite existe seulement lorsque la fonction est continue en x0.
Le choix de η ne dépend pas de ε dans la définition.
La condition de limite utilise un voisinage de x0 privé du point x0.
Pour tout ε positif, un η positif peut être choisi afin de contrôler l’écart des images.

La condition de limite utilise un voisinage de x0 privé du point x0. · Pour tout ε positif, un η positif peut être choisi afin de contrôler l’écart des images.

Explication

La définition compare les valeurs de f(x) à ℓ pour des x proches de x0 mais distincts de x0, et exige ce contrôle pour tout ε positif avec un η pouvant dépendre de ε. Elle ne demande donc pas que l’inégalité soit vérifiée en x0, ni que η soit indépendant de ε. La valeur f(x0) n’intervient pas nécessairement, et l’existence de la limite n’impose ni continuité ni égalité entre f(x0) et ℓ.

12. Parmi les propositions suivantes concernant le théorème des gendarmes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La fonction encadrée possède une limite lorsque les deux fonctions bornantes ont une limite commune.
La limite commune des bornes est alors celle de la fonction encadrée.
La fonction encadrée doit prendre la même valeur que les bornes au point étudié.
Les deux fonctions bornantes doivent avoir des limites opposées pour conclure.
L’encadrement doit être vérifié dans un voisinage du point étudié.

La fonction encadrée possède une limite lorsque les deux fonctions bornantes ont une limite commune. · La limite commune des bornes est alors celle de la fonction encadrée. · L’encadrement doit être vérifié dans un voisinage du point étudié.

Explication

Le théorème des gendarmes s’applique lorsque l’encadrement est valable près du point et que les deux bornes tendent vers la même limite. Des limites opposées ne permettent pas cette conclusion, et aucune égalité ponctuelle avec les bornes n’est requise.

13. À propos des croissances comparées lorsque x→+∞x\to +\infty :

Toute puissance positive de x domine toute puissance positive de ln x.
Une exponentielle de la forme eγxe^{\gamma x} domine toute puissance positive de x.
Le logarithme croît moins vite qu’une puissance positive de x.
Les croissances logarithmiques, polynomiales et exponentielles suivent cet ordre hiérarchique.
Une puissance positive de x croît moins vite que eγxe^{\gamma x} lorsque γ>0\gamma>0.

Toute puissance positive de x domine toute puissance positive de ln x. · Une exponentielle de la forme $$e^{\gamma x}$$ domine toute puissance positive de x. · Le logarithme croît moins vite qu’une puissance positive de x. · Les croissances logarithmiques, polynomiales et exponentielles suivent cet ordre hiérarchique. · Une puissance positive de x croît moins vite que $$e^{\gamma x}$$ lorsque $$\gamma>0$$.

Explication

À l’infini, les puissances positives de x dominent les puissances positives de ln x. Les exponentielles eγxe^{\gamma x} avec γ>0\gamma>0 dominent les puissances de x, ce qui donne l’ordre logarithmique, polynomial puis exponentiel.

14. Une fonction continue sur [a,b][a,b] possède quelles propriétés parmi les suivantes ?

Ses bornes minimale et maximale sont effectivement atteintes.
Elle atteint un minimum sur le segment considéré.
Elle prend ses valeurs extrêmes au milieu du segment.
Elle atteint un maximum sur le segment considéré.
Elle atteint son minimum à l’extrémité droite.

Ses bornes minimale et maximale sont effectivement atteintes. · Elle atteint un minimum sur le segment considéré. · Elle atteint un maximum sur le segment considéré.

Explication

Une fonction continue sur un segment compact atteint un minimum et un maximum. Ces extrema peuvent se situer aux extrémités ou à l’intérieur du segment, sans être imposés au milieu, à gauche ou à droite.

15. Concernant le nombre dérivé d’une fonction en x0x_0, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Son expression comporte le dénominateur h.
Le taux d’accroissement utilise f(x0+h)−f(x0)f(x_0+h)-f(x_0) au numérateur.
Il est défini comme une limite lorsque h tend vers zéro.
Son existence est assurée pour toute fonction définie en x0x_0.
Le quotient différentiel compare f(x0)f(x_0) à f(x0−h)f(x_0-h) au numérateur.

Son expression comporte le dénominateur h. · Le taux d’accroissement utilise $$f(x_0+h)-f(x_0)$$ au numérateur. · Il est défini comme une limite lorsque h tend vers zéro.

Explication

Le nombre dérivé est la limite, lorsque h tend vers zéro, de f(x0+h)−f(x0)h\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. La simple définition de la fonction en x0x_0 ne garantit pas l’existence de cette limite.

16. Concernant les règles de dérivation d’un produit et d’un quotient :

La dérivée d’un quotient possède une différence au numérateur.
La dérivée d’un produit contient les termes f′gf'g et fg′fg'.
La formule du quotient suppose que gg ne s’annule pas.
La dérivée du produit s’écrit f′g+fg′f'g+fg'.
Le dénominateur de la dérivée d’un quotient est g2g^2.

La dérivée d’un quotient possède une différence au numérateur. · La dérivée d’un produit contient les termes $$f'g$$ et $$fg'$$. · La formule du quotient suppose que $$g$$ ne s’annule pas. · La dérivée du produit s’écrit $$f'g+fg'$$. · Le dénominateur de la dérivée d’un quotient est $$g^2$$.

Explication

Les deux règles sont (fg)′=f′g+fg′ (fg)'=f'g+fg' et (fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2} lorsque g≠0g\neq0. Le produit conduit à une somme de deux termes, tandis que le quotient comporte une différence au numérateur.

17. Une fonction composée est dérivée correctement lorsque :

La dérivée composée est le produit de g′(x)g'(x) par f′(x)f'(x).
La règle s’écrit (g∘f)′(x)=g′(f(x))f′(x) (g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x).
La dérivée extérieure est évaluée en f(x)f(x).
La formule comporte le facteur f′(x)f'(x).
La dérivée de la fonction intérieure s’évalue en g(x).

La règle s’écrit $$ (g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x)$$. · La dérivée extérieure est évaluée en $$f(x)$$. · La formule comporte le facteur $$f'(x)$$.

Explication

La règle de la chaîne donne (g∘f)′(x)=g′(f(x))f′(x)(g\circ f)'(x)=g'(f(x))f'(x). La dérivée de la fonction extérieure est donc évaluée en f(x), tandis que la dérivée de la fonction intérieure est évaluée en x. La formule ne se réduit pas au produit de g′(x)g'(x) par f′(x)f'(x).

18. Concernant le théorème des accroissements finis, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le théorème relie une variation globale à une dérivée en un point intermédiaire.
La relation compare les valeurs de f aux points c et a.
La relation obtenue est f(b)−f(a)=(b−a)f′(c)f(b)-f(a)=(b-a)f'(c).
Le point c est nécessairement égal au milieu de [a,b][a,b].
Il existe un réel c situé dans l’intervalle ouvert ]a,b[]a,b[.

Le théorème relie une variation globale à une dérivée en un point intermédiaire. · La relation obtenue est $$f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$$. · Il existe un réel c situé dans l’intervalle ouvert $$]a,b[$$.

Explication

Le théorème affirme l’existence d’un c∈]a,b[c\in]a,b[ vérifiant f(b)−f(a)=(b−a)f′(c)f(b)-f(a)=(b-a)f'(c). Le point n’est pas imposé comme le milieu, et la relation porte sur les valeurs aux extrémités a et b.

19. L’intégration par parties permet quelles transformations ?

Elle correspond à une substitution de variable dans l’intégrale.
Elle applique la formule en dérivant v(x) deux fois.
Elle s’écrit ∫u(x)v′(x) dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x) dx\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx.
Elle transforme une intégrale de produit en une différence d’intégrales.
Elle fait intervenir les dérivées de u et de v dans la formule.

Elle s’écrit $$\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx$$. · Elle transforme une intégrale de produit en une différence d’intégrales. · Elle fait intervenir les dérivées de u et de v dans la formule.

Explication

L’intégration par parties utilise la formule ∫u(x)v′(x) dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x) dx\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx. Elle transforme une intégrale de produit en une différence comportant une nouvelle intégrale et fait intervenir les dérivées de u et de v. Elle ne correspond pas à une substitution de variable et ne consiste pas à dériver deux fois v(x).

20. Pour une fonction possédant une primitive F, quelles égalités d’intégration sont exactes ?

L’intégrale entre a et b vaut F(b)−F(a)F(b)-F(a).
La relation utilise une primitive de f sur l’intervalle considéré.
La valeur de l’intégrale dépend des valeurs de F aux bornes.
Une constante ajoutée à F modifie la valeur de l’intégrale.
La formule entre les bornes vaut F(a)−F(b)F(a)-F(b).

L’intégrale entre a et b vaut $$F(b)-F(a)$$. · La relation utilise une primitive de f sur l’intervalle considéré. · La valeur de l’intégrale dépend des valeurs de F aux bornes.

Explication

Le théorème fondamental donne ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) pour une primitive F de f. Une constante additive s’annule dans la différence, et l’ordre des bornes impose F(b) moins F(a).

21. Pour déterminer une primitive d’une fonction rationnelle, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La décomposition en éléments simples peut suivre une division euclidienne préalable.
La décomposition en éléments simples remplace la division euclidienne lorsque le numérateur est de degré supérieur.
La division euclidienne intervient lorsque le degré du numérateur atteint ou dépasse celui du dénominateur.
L’intégration des fractions obtenues constitue une étape du calcul de la primitive.
Une fraction rationnelle propre peut être traitée directement par décomposition en éléments simples.

La décomposition en éléments simples peut suivre une division euclidienne préalable. · La division euclidienne intervient lorsque le degré du numérateur atteint ou dépasse celui du dénominateur. · L’intégration des fractions obtenues constitue une étape du calcul de la primitive. · Une fraction rationnelle propre peut être traitée directement par décomposition en éléments simples.

Explication

La méthode comprend une division euclidienne lorsque le degré du numérateur est au moins celui du dénominateur, puis une décomposition et l’intégration des termes. Pour une fraction propre, la décomposition peut être engagée directement. La dernière formulation inverse le rôle de la division euclidienne et de la décomposition.

22. Parmi les propositions suivantes concernant l’intégration rationnelle en sinus et cosinus, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La substitution u = sin x convient à certains cas particuliers d’intégration.
Avec u = tan(x/2), on a sin⁡x=2u1+u2\sin x=\frac{2u}{1+u^2}.
La substitution u = cos x convient également à certaines formes particulières.
Avec u = tan(x/2), on obtient cos⁡x=1+u21−u2\cos x=\frac{1+u^2}{1-u^2}.
La substitution u = tan(x/2) fournit une méthode générale pour ces fonctions rationnelles.

La substitution u = sin x convient à certains cas particuliers d’intégration. · Avec u = tan(x/2), on a $$\sin x=\frac{2u}{1+u^2}$$. · La substitution u = cos x convient également à certaines formes particulières. · La substitution u = tan(x/2) fournit une méthode générale pour ces fonctions rationnelles.

Explication

Les substitutions par le sinus ou le cosinus s’appliquent dans certains cas, tandis que u=tan⁡(x/2)u=\tan(x/2) est la substitution générale. Elle donne notamment sin⁡x=2u1+u2\sin x=\frac{2u}{1+u^2}. La formule correcte du cosinus est cos⁡x=1−u21+u2\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}, et non son expression inversée.

23. Une primitive de sin⁡2xcos⁡3x\sin^2x\cos^3x peut être obtenue ainsi :

Une primitive obtenue est sin⁡3x3−sin⁡5x5+C\frac{\sin^3x}{3}-\frac{\sin^5x}{5}+C.
La dérivée de cette primitive redonne sin⁡2xcos⁡3x\sin^2x\cos^3x.
La substitution u = sin x permet d’intégrer cette expression.
La primitive correspondante est cos⁡3x3−cos⁡5x5+C\frac{\cos^3x}{3}-\frac{\cos^5x}{5}+C.
La substitution u = cos x conduit directement à la primitive indiquée.

Une primitive obtenue est $$\frac{\sin^3x}{3}-\frac{\sin^5x}{5}+C$$. · La dérivée de cette primitive redonne $$\sin^2x\cos^3x$$. · La substitution u = sin x permet d’intégrer cette expression.

Explication

La substitution u=sin⁡xu=\sin x est adaptée et fournit la primitive sin⁡3x3−sin⁡5x5+C\frac{\sin^3x}{3}-\frac{\sin^5x}{5}+C. Sa dérivée vaut bien sin⁡2xcos⁡3x\sin^2x\cos^3x. L’expression en puissances de cosinus et l’attribution à la substitution par le cosinus ne correspondent pas à cet exemple.

24. À propos de l’intégrale définie d’une fonction f entre a et b :

Si F est une primitive de f, alors ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).
L’intégrale définie entre a et b est une fonction dépendant encore de x.
L’intégrale définie entre deux bornes identiques vaut 1.
L’intégrale définie exige une primitive constante sur l’intervalle considéré.
Si F est une primitive de f, alors ∫abf(x) dx=F(a)−F(b)\int_a^b f(x)\,dx=F(a)-F(b).

Si F est une primitive de f, alors $$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$.

Explication

Par définition, si F est une primitive de f, l’intégrale définie entre a et b vaut la différence F(b)−F(a)F(b)-F(a), qui dépend des deux bornes et non d’une variable libre. Une primitive n’a pas besoin d’être constante sur l’intervalle. Lorsque les bornes sont identiques, l’intégrale vaut 0, tandis que l’inversion des bornes change le signe et donne ∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx.

25. Concernant les propriétés de Chasles et l’inversion des bornes, quelles sont les réponses exactes au sujet de l’intégrale ?

Une intégrale dont les bornes sont identiques vaut l’intégrale de f sur tout l’intervalle.
L’inversion des bornes donne ∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx.
La relation de Chasles impose que les trois bornes soient deux à deux distinctes.
L’inversion des bornes conserve la même valeur numérique pour toute fonction intégrable.
Pour trois bornes a, b et c, ∫acf(x) dx=∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx\int_a^c f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx.

L’inversion des bornes donne $$\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$$. · Pour trois bornes a, b et c, $$\int_a^c f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx$$.

Explication

La relation de Chasles décompose l’intégrale en deux intervalles, et l’échange des bornes change son signe. Des bornes identiques donnent une intégrale nulle, l’inversion ne conserve donc pas la valeur générale, et Chasles ne requiert pas trois bornes distinctes.

26. Une somme de Riemann associée à une fonction f sur [a,b] comprend :

La limite d’une somme lorsque la subdivision reste de finesse constante.
L’addition de produits formés avec une valeur échantillonnée et une longueur d’intervalle.
L’évaluation de f en un point unique de l’intervalle total.
Une subdivision de l’intervalle [a,b] en plusieurs sous-intervalles.
Le choix d’un point dans chacun des sous-intervalles obtenus.

L’addition de produits formés avec une valeur échantillonnée et une longueur d’intervalle. · Une subdivision de l’intervalle [a,b] en plusieurs sous-intervalles. · Le choix d’un point dans chacun des sous-intervalles obtenus.

Explication

Une somme de Riemann repose sur une subdivision, un point choisi dans chaque sous-intervalle et la somme des produits correspondants. Elle utilise donc plusieurs valeurs échantillonnées. La limite associée à une subdivision de plus en plus fine décrit l’intégrale, et non la construction élémentaire d’une somme.

27. Pour une subdivision Δ\Delta de [a,b], cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’intégrale s’obtient comme limite des sommes de Riemann lorsque ∥Δ∥→0\|\Delta\|\to0.
La finesse d’une subdivision est la longueur moyenne de ses sous-intervalles.
La limite intégrale est obtenue lorsque ∥Δ∥→1\|\Delta\|\to1.
Sa finesse est ∥Δ∥=max⁡j(xj+1−xj)\|\Delta\|=\max_j(x_{j+1}-x_j).
La finesse mesure la plus grande longueur parmi les sous-intervalles.

L’intégrale s’obtient comme limite des sommes de Riemann lorsque $$\|\Delta\|\to0$$. · Sa finesse est $$\|\Delta\|=\max_j(x_{j+1}-x_j)$$. · La finesse mesure la plus grande longueur parmi les sous-intervalles.

Explication

La finesse est le maximum des longueurs xj+1−xjx_{j+1}-x_j, donc elle correspond à la plus grande longueur de sous-intervalle. L’intégrale est la limite des sommes de Riemann lorsque cette quantité tend vers zéro. Elle n’est ni une longueur moyenne ni une quantité tendant vers un.

28. Concernant le polynôme de Taylor d’ordre n au point a :

Il constitue une approximation polynomiale de la fonction au voisinage de a.
Il comporte des puissances de a-x dans sa formulation générale.
Il utilise les dérivées évaluées au point x dans chaque coefficient.
Il s’écrit comme une somme de dérivées évaluées en a, pondérées par des puissances de x-a.
Il mesure directement l’écart entre la fonction et son approximation polynomiale.

Il constitue une approximation polynomiale de la fonction au voisinage de a. · Il s’écrit comme une somme de dérivées évaluées en a, pondérées par des puissances de x-a.

Explication

Le polynôme de Taylor est construit avec les dérivées en a et fournit une approximation polynomiale près de a. L’écart entre la fonction et cette approximation est mesuré par le reste de Taylor, les coefficients ne sont pas évalués en x et la puissance générale est x-a.

29. Parmi les propositions suivantes concernant le reste intégral de Taylor, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Il nécessite que la fonction soit de classe Cn+1C^{n+1}.
Il s’exprime par une intégrale faisant intervenir la dérivée d’ordre n+1.
Il utilise une valeur intermédiaire c comme dans le reste de Lagrange.
Il est intégré entre les bornes a et x.
Son intégrande contient le facteur (x−t)nn!\frac{(x-t)^n}{n!}.

Il nécessite que la fonction soit de classe $$C^{n+1}$$. · Il s’exprime par une intégrale faisant intervenir la dérivée d’ordre n+1. · Il est intégré entre les bornes a et x. · Son intégrande contient le facteur $$\frac{(x-t)^n}{n!}$$.

Explication

Le reste intégral vaut ∫ax(x−t)nn!f(n+1)(t) dt\int_a^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,dt et requiert une fonction de classe Cn+1C^{n+1}. Il contient donc le facteur indiqué et les bornes a et x ; l’utilisation d’une valeur intermédiaire c caractérise le reste de Lagrange.

30. Concernant les développements usuels au voisinage de zéro, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le développement de cos⁡x\cos x commence par 1−x22!1-\frac{x^2}{2!}.
Le développement de exe^x contient les termes 1+x+x22!1+x+\frac{x^2}{2!}.
Le développement de exe^x peut comporter un terme xnε(x)x^n\varepsilon(x).
Dans cette écriture, ε(x)\varepsilon(x) tend vers zéro lorsque x tend vers zéro.
Le développement de sin⁡x\sin x commence par x−x33!x-\frac{x^3}{3!}.

Le développement de $$\cos x$$ commence par $$1-\frac{x^2}{2!}$$. · Le développement de $$e^x$$ contient les termes $$1+x+\frac{x^2}{2!}$$. · Le développement de $$e^x$$ peut comporter un terme $$x^n\varepsilon(x)$$. · Dans cette écriture, $$\varepsilon(x)$$ tend vers zéro lorsque x tend vers zéro. · Le développement de $$\sin x$$ commence par $$x-\frac{x^3}{3!}$$.

Explication

Au voisinage de zéro, exe^x commence par 1+x+x22!1+x+\frac{x^2}{2!}, tandis que sin⁡x\sin x et cos⁡x\cos x commencent par les expressions indiquées. Le terme résiduel de l’exponentielle s’écrit xnε(x)x^n\varepsilon(x) avec ε(x)→0\varepsilon(x)\to0.

31. Une équation différentielle est définie comme :

Une relation entre une fonction inconnue et ses dérivées successives.
Une relation définie pour une fonction inconnue sur un intervalle réel.
Une relation algébrique entre plusieurs constantes indépendantes.
Une formule ne faisant intervenir aucune dérivée de la fonction étudiée.
Une relation limitée aux fonctions définies sur un domaine discret.

Une relation entre une fonction inconnue et ses dérivées successives. · Une relation définie pour une fonction inconnue sur un intervalle réel.

Explication

Une équation différentielle relie une fonction inconnue définie sur un intervalle réel à ses dérivées successives. Elle ne se réduit donc ni à une relation entre constantes, ni à une formule sans dérivée, et le domaine considéré est un intervalle réel.

32. Pour résoudre l’équation homogène du premier ordre avec y(x0)=c0y(x_0)=c_0 :

La solution unique s’écrit y(x)=c0e−∫x0xa(t) dty(x)=c_0e^{-\int_{x_0}^{x}a(t)\,dt}.
La solution initiale s’écrit avec une intégrale allant de x à x0x_0 sans changement de signe.
La valeur imposée en x0x_0 détermine précisément la constante de la solution générale.
La formule obtenue correspond à une équation dont le second membre vaut b(x).
La condition initiale laisse la constante multiplicative entièrement libre.

La solution unique s’écrit $$y(x)=c_0e^{-\int_{x_0}^{x}a(t)\,dt}$$. · La valeur imposée en $$x_0$$ détermine précisément la constante de la solution générale.

Explication

La condition initiale donne la solution unique y(x)=c0e−∫x0xa(t) dty(x)=c_0e^{-\int_{x_0}^{x}a(t)\,dt} et fixe la constante de la solution générale. L’intégrale orientée et le signe sont ceux indiqués ; l’équation concernée est homogène, donc son second membre est nul.

33. Concernant la variation de la constante pour y′+a(x)y=b(x)y'+a(x)y=b(x), quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) ?

On pose y(x)=C(x)e−A(x)y(x)=C(x)e^{-A(x)} avec A′(x)=a(x)A'(x)=a(x).
On pose y(x)=CeA(x)y(x)=Ce^{A(x)} avec A′(x)=a(x)A'(x)=a(x).
La méthode traite une équation dont le second membre est b(x).
La fonction C dépend de x dans cette méthode.
On obtient C′(x)=eA(x)b(x)C'(x)=e^{A(x)}b(x).

On pose $$y(x)=C(x)e^{-A(x)}$$ avec $$A'(x)=a(x)$$. · La méthode traite une équation dont le second membre est b(x). · La fonction C dépend de x dans cette méthode. · On obtient $$C'(x)=e^{A(x)}b(x)$$.

Explication

La variation de la constante remplace C par une fonction C(x) dans y=C(x)e−A(x)y=C(x)e^{-A(x)}, avec A′=aA'=a. La substitution conduit à C′=eAbC'=e^A b et s’applique bien à l’équation non homogène ; l’exponentielle porte un signe négatif dans l’expression de y.

34. Pour l’équation homogène du second ordre, les formes de solutions selon le discriminant comprennent :

Si Δ=0\Delta=0, la solution comporte un facteur affine en x multipliant une exponentielle.
Le discriminant considéré est Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac pour aX2+bX+c=0aX^2+bX+c=0.
Si Δ>0\Delta>0, la solution utilise deux exponentielles associées à deux racines distinctes.
Si Δ<0\Delta<0, la solution réelle combine cosinus et sinus.
Pour Δ<0\Delta<0, l’expression réelle comporte aussi un facteur exponentiel eαxe^{\alpha x}.

Si $$\Delta=0$$, la solution comporte un facteur affine en x multipliant une exponentielle. · Le discriminant considéré est $$\Delta=b^2-4ac$$ pour $$aX^2+bX+c=0$$. · Si $$\Delta>0$$, la solution utilise deux exponentielles associées à deux racines distinctes. · Si $$\Delta<0$$, la solution réelle combine cosinus et sinus. · Pour $$\Delta<0$$, l’expression réelle comporte aussi un facteur exponentiel $$e^{\alpha x}$$.

Explication

Le discriminant Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac détermine les trois formes de solutions. Deux racines réelles distinctes donnent deux exponentielles, une racine double donne (C1x+C2)eλx(C_1x+C_2)e^{\lambda x}, et des racines complexes donnent une combinaison de sinus et cosinus multipliée par eαxe^{\alpha x}.

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