QCM : Équations du second degré (16 questions)

Question 1

1. À quelle condition existe-t-il deux réels $u$ et $v$ tels que $u+v=s$ et $uv=p$ ?

Lorsque

s^2+4p<0

, car les signes opposés garantissent deux valeurs réelles

Lorsque

s^2-4p<0

, car l’équation associée possède deux racines réelles

Lorsque

s^2+4p\geq0

, car cette expression détermine directement leur produit

Lorsque

s^2-4p\geq0

, car ils sont alors racines de

x^2-sx+p=0

Explication

Les nombres recherchés sont les racines de $x^2-sx+p=0$ , dont le discriminant vaut $s^2-4p$ ; deux racines réelles existent donc lorsque cette quantité est positive ou nulle. Le signe strictement négatif correspondrait à l’absence de deux solutions réelles.

Answer

Lorsque $$s^2-4p\geq0$$, car ils sont alors racines de $$x^2-sx+p=0$$

Question 2

2. Pour comparer les courbes de deux fonctions, que signifie $f(x)-g(x)>0$ en une valeur donnée de $x$ ?

La courbe

C_g

est au-dessus de la courbe

C_f

.

Les deux courbes se coupent à cette valeur de

x

.

La courbe

C_f

est au-dessus de la courbe

C_g

.

La courbe

C_f

est au-dessous de la courbe

C_g

.

Explication

La différence $f(x)-g(x)$ compare les ordonnées des deux courbes au même point d’abscisse. Si elle est positive, l’ordonnée de $C_f$ est supérieure à celle de $C_g$ ; le signe de $g-f$ donnerait la comparaison inverse.

Answer

La courbe $$C_f$$ est au-dessus de la courbe $$C_g$$.

Question 3

3. Dans un rectangle de dimensions $7\,\text{cm}$ et $5\,\text{cm}$ , pour quelles valeurs de $x$ l’aire hachurée $A=2x^2-12x+35$ vaut-elle $25\,\text{cm}^2$ ?

x=0

ou

x=6

x=3

ou

x=7

x=1

ou

x=5

x=2

ou

x=4

Explication

En imposant $A=25$ , on obtient $2x^2-12x+35=25$ , soit $x^2-6x+5=0$ , dont les solutions sont $1$ et $5$ . Les autres valeurs ne satisfont pas cette équation d’aire.

Answer

$$x=1$$ ou $$x=5$$

Question 4

4. Quelle suite d’étapes permet de résoudre correctement un problème d’aire modélisé par une équation du second degré ?

Résoudre une équation générale, choisir une racine, puis calculer les dimensions correspondantes

Exprimer les aires élémentaires, former l’aire en fonction de

x

, résoudre puis vérifier les valeurs admissibles

Calculer l’aire totale, soustraire une longueur, puis accepter chaque solution algébrique obtenue

Déterminer les dimensions au dessin, développer l’équation, puis conserver la racine la plus grande

Explication

Il faut construire l’expression de l’aire recherchée à partir des aires élémentaires, résoudre l’équation obtenue et contrôler les contraintes géométriques. Une solution algébrique peut être rejetée si elle donne une longueur inadmissible dans le problème.

Answer

Exprimer les aires élémentaires, former l’aire en fonction de $$x$$, résoudre puis vérifier les valeurs admissibles

Question 5

5. Pour le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ , quelle expression donne son discriminant ?

\Delta=b^2+4ac

\Delta=2b-4ac

\Delta=a^2-4bc

\Delta=b^2-4ac

Explication

Le discriminant se calcule en soustrayant $4ac$ à $b^2$ . L’expression avec une addition de $4ac$ correspond à une confusion fréquente et ne permet pas de déterminer correctement les racines.

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Question 6

6. Un polynôme du second degré possède un discriminant négatif et un coefficient dominant positif. Quel est son signe sur $\mathbb{R}$ ?

Il reste positif sur

\mathbb{R}

.

Il s’annule en une valeur réelle double.

Il change de signe en deux valeurs réelles.

Il reste négatif sur

\mathbb{R}

.

Explication

Avec $\Delta<0$ , le polynôme ne s’annule pas et conserve le signe de son coefficient dominant. Comme ce coefficient est positif, le polynôme reste positif sur $\mathbb{R}$ ; le changement de signe nécessite des racines réelles.

Answer

Il reste positif sur $$\mathbb{R}$$.

Question 7

7. Quelle démarche convient pour résoudre rapidement une équation du second degré lorsqu’une solution entière semble évidente ?

Développer l’expression, puis remplacer le terme constant par une valeur testée

Calculer directement le discriminant, puis retenir la valeur entière la plus simple

Tracer la parabole, puis choisir graphiquement l’intersection la plus proche de l’origine

Tester des valeurs entières, utiliser la somme ou le produit des racines, puis factoriser

Explication

La méthode consiste à vérifier une valeur entière, à déduire l’autre racine grâce aux relations entre les racines, puis à factoriser le polynôme. Le calcul direct du discriminant constitue une autre méthode et ne correspond pas à cette démarche fondée sur une racine déjà vérifiée.

Answer

Tester des valeurs entières, utiliser la somme ou le produit des racines, puis factoriser

Question 8

8. Que peut-on conclure pour une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

Elle admet une racine réelle égale à

\frac{-b}{2a}

.

Elle n’admet aucune racine réelle.

Elle admet deux racines réelles distinctes.

Elle admet une racine réelle double.

Explication

Un discriminant négatif signifie que l’équation ne possède aucune solution réelle. La racine double apparaît lorsque $\Delta=0$ , alors que deux racines distinctes apparaissent lorsque $\Delta>0$ .

Answer

Elle n’admet aucune racine réelle.

Question 9

9. Une équation du second degré a pour discriminant $\Delta=0$ . Combien de racines réelles possède-t-elle et quelle est leur expression ?

Aucune racine réelle, car

\sqrt{\Delta}

n’est pas défini.

Une racine réelle,

x_0=\frac{-b}{2a}

.

Deux racines réelles,

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

.

Une racine réelle,

x_0=\frac{-b}{a}

.

Explication

Lorsque $\Delta=0$ , les deux solutions se confondent en une racine réelle $x_0=\frac{-b}{2a}$ . L’absence de racine réelle concerne le cas $\Delta<0$ , et non le discriminant nul.

Answer

Une racine réelle, $$x_0=\frac{-b}{2a}$$.

Question 10

10. Pour l’équation $-x^2+4x+5=0$ , quelle factorisation et quelles racines sont correctes ?

(x-1)(x+5)

, avec

x=1

et

x=-5

-(x-1)(x+5)

, avec

x=1

et

x=-5

(x+1)(x-5)

, avec

x=-1

et

x=5

-(x+1)(x-5)

, avec

x=-1

et

x=5

Explication

Le développement de $-(x+1)(x-5)$ donne $-x^2+4x+5$ , et les deux racines sont $-1$ et $5$ . La racine $-1$ est vérifiée directement, tandis que $5$ est ensuite obtenue grâce au produit des racines.

Answer

$$-(x+1)(x-5)$$, avec $$x=-1$$ et $$x=5$$

Question 11

11. Quelle est la forme canonique de $3x^2+12x+2$ obtenue par complétion du carré ?

3(x+2)^2-10

3(x-2)^2+10

3(x+2)^2+10

3(x+4)^2-46

Explication

En mettant $3$ en facteur puis en complétant le carré, on obtient $3(x+2)^2-10$ . Cette forme fait apparaître le sommet, contrairement à la forme développée.

Answer

$$3(x+2)^2-10$$

Question 12

12. Pour une équation du second degré dont le discriminant vaut $25$ , quelle propriété est vraie ?

Elle possède deux racines réelles confondues données par

\frac{-b}{2a}

.

Elle ne possède aucune racine réelle, car le discriminant est positif.

Elle possède deux racines réelles distinctes données par

\frac{-b\pm\sqrt{25}}{2a}

.

Elle possède une racine réelle unique donnée par

\frac{-b}{2a}

.

Explication

Un discriminant strictement positif entraîne deux racines réelles distinctes, obtenues avec les deux signes devant $\sqrt{\Delta}$ . Une racine unique correspond au cas $\Delta=0$ , tandis qu’un discriminant négatif exclut les racines réelles.

Answer

Elle possède deux racines réelles distinctes données par $$\frac{-b\pm\sqrt{25}}{2a}$$.

Question 13

13. Un polynôme du second degré ayant pour racines $u$ et $v$ , avec $s=u+v$ et $p=uv$ , s’écrit sous quelle forme ?

P(x)=a(x^2-sx+p)

avec

a\ne0

P(x)=a(x^2+sx+p)

avec

a\ne0

P(x)=x^2-sx+p

avec

a\ne0

P(x)=a(x^2-sx-p)

avec

a\ne0

Explication

La somme des racines fournit le coefficient $-s$ et leur produit fournit le terme constant $p$ , tandis que le facteur $a\ne0$ permet de retrouver le coefficient dominant du polynôme donné. La forme $x^2-sx+p$ correspond au polynôme unitaire associé, pas nécessairement au polynôme initial.

Answer

$$P(x)=a(x^2-sx+p)$$ avec $$a\ne0$$

Question 14

14. Pour un polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelles relations donnent leur somme et leur produit ?

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

et

x_1x_2=\frac{c}{a}

x_1+x_2=\frac{c}{a}

et

x_1x_2=-\frac{b}{a}

x_1+x_2=-\frac{c}{a}

et

x_1x_2=\frac{b}{a}

x_1+x_2=\frac{b}{a}

et

x_1x_2=-\frac{c}{a}

Explication

Les relations de Viète donnent une somme égale à l’opposé du rapport entre le coefficient linéaire et le coefficient quadratique, ainsi qu’un produit égal au rapport entre le terme constant et le coefficient quadratique. La confusion fréquente consiste à intervertir les expressions de la somme et du produit.

Answer

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ et $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Question 15

15. Quel type d’extrémum possède la parabole associée à un polynôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est négatif ?

Un minimum

Un maximum

Un point d’inflexion

Une valeur constante

Explication

Un coefficient de $x^2$ négatif signifie que la parabole est tournée vers le bas et possède donc un maximum. Avec un coefficient positif, elle serait tournée vers le haut et posséderait un minimum.

Answer

Un maximum

Question 16

16. Quelle forme factorisée convient à un polynôme du second degré dont les racines sont $u$ et $v$ ?

P(x)=a(x-u)(x-v)

, où

a

est le coefficient dominant

P(x)=(x-u)(x-v)

, avec un coefficient dominant égal à zéro

P(x)=a(x+u)(x+v)

, où

a

est le coefficient dominant

P(x)=a(x-u-v)

, où

a

est le coefficient dominant

Explication

La forme factorisée est $P(x)=a(x-u)(x-v)$ , car chaque racine annule le facteur qui lui correspond et $a$ ajuste le coefficient dominant. Écrire les facteurs avec des signes positifs changerait généralement les racines en $-u$ et $-v$ .

Answer

$$P(x)=a(x-u)(x-v)$$, où $$a$$ est le coefficient dominant

QCM : Équations du second degré (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. À quelle condition existe-t-il deux réels $u$ et $v$ tels que $u+v=s$ et $uv=p$ ?

2. Pour comparer les courbes de deux fonctions, que signifie $f(x)-g(x)>0$ en une valeur donnée de $x$ ?

3. Dans un rectangle de dimensions $7\,\text{cm}$ et $5\,\text{cm}$ , pour quelles valeurs de $x$ l’aire hachurée $A=2x^2-12x+35$ vaut-elle $25\,\text{cm}^2$ ?

4. Quelle suite d’étapes permet de résoudre correctement un problème d’aire modélisé par une équation du second degré ?

5. Pour le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ , quelle expression donne son discriminant ?

6. Un polynôme du second degré possède un discriminant négatif et un coefficient dominant positif. Quel est son signe sur $\mathbb{R}$ ?

7. Quelle démarche convient pour résoudre rapidement une équation du second degré lorsqu’une solution entière semble évidente ?

8. Que peut-on conclure pour une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

9. Une équation du second degré a pour discriminant $\Delta=0$ . Combien de racines réelles possède-t-elle et quelle est leur expression ?

10. Pour l’équation $-x^2+4x+5=0$ , quelle factorisation et quelles racines sont correctes ?

11. Quelle est la forme canonique de $3x^2+12x+2$ obtenue par complétion du carré ?

12. Pour une équation du second degré dont le discriminant vaut $25$ , quelle propriété est vraie ?

13. Un polynôme du second degré ayant pour racines $u$ et $v$ , avec $s=u+v$ et $p=uv$ , s’écrit sous quelle forme ?

14. Pour un polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelles relations donnent leur somme et leur produit ?

15. Quel type d’extrémum possède la parabole associée à un polynôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est négatif ?

16. Quelle forme factorisée convient à un polynôme du second degré dont les racines sont $u$ et $v$ ?

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QCM : Équations du second degré (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. À quelle condition existe-t-il deux réels uuu et vvv tels que u+v=su+v=su+v=s et uv=puv=puv=p ?

2. Pour comparer les courbes de deux fonctions, que signifie f(x)−g(x)>0f(x)-g(x)>0f(x)−g(x)>0 en une valeur donnée de xxx ?

3. Dans un rectangle de dimensions 7 cm7\,\text{cm}7cm et 5 cm5\,\text{cm}5cm, pour quelles valeurs de xxx l’aire hachurée A=2x2−12x+35A=2x^2-12x+35A=2x2−12x+35 vaut-elle 25 cm225\,\text{cm}^225cm2 ?

4. Quelle suite d’étapes permet de résoudre correctement un problème d’aire modélisé par une équation du second degré ?

5. Pour le polynôme du second degré P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+cP(x)=ax2+bx+c, avec a≠0a\ne0a=0, quelle expression donne son discriminant ?

6. Un polynôme du second degré possède un discriminant négatif et un coefficient dominant positif. Quel est son signe sur R\mathbb{R}R ?

7. Quelle démarche convient pour résoudre rapidement une équation du second degré lorsqu’une solution entière semble évidente ?

8. Que peut-on conclure pour une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie Δ<0\Delta<0Δ<0 ?

9. Une équation du second degré a pour discriminant Δ=0\Delta=0Δ=0. Combien de racines réelles possède-t-elle et quelle est leur expression ?

10. Pour l’équation −x2+4x+5=0-x^2+4x+5=0−x2+4x+5=0, quelle factorisation et quelles racines sont correctes ?

11. Quelle est la forme canonique de 3x2+12x+23x^2+12x+23x2+12x+2 obtenue par complétion du carré ?

12. Pour une équation du second degré dont le discriminant vaut 252525, quelle propriété est vraie ?

13. Un polynôme du second degré ayant pour racines uuu et vvv, avec s=u+vs=u+vs=u+v et p=uvp=uvp=uv, s’écrit sous quelle forme ?

14. Pour un polynôme P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+cP(x)=ax2+bx+c ayant deux racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​, quelles relations donnent leur somme et leur produit ?

15. Quel type d’extrémum possède la parabole associée à un polynôme du second degré dont le coefficient de x2x^2x2 est négatif ?

16. Quelle forme factorisée convient à un polynôme du second degré dont les racines sont uuu et vvv ?

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1. À quelle condition existe-t-il deux réels $u$ et $v$ tels que $u+v=s$ et $uv=p$ ?

2. Pour comparer les courbes de deux fonctions, que signifie $f(x)-g(x)>0$ en une valeur donnée de $x$ ?

3. Dans un rectangle de dimensions $7\,\text{cm}$ et $5\,\text{cm}$ , pour quelles valeurs de $x$ l’aire hachurée $A=2x^2-12x+35$ vaut-elle $25\,\text{cm}^2$ ?

5. Pour le polynôme du second degré $P(x)=ax^2+bx+c$ , avec $a\ne0$ , quelle expression donne son discriminant ?

6. Un polynôme du second degré possède un discriminant négatif et un coefficient dominant positif. Quel est son signe sur $\mathbb{R}$ ?

8. Que peut-on conclure pour une équation du second degré lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

9. Une équation du second degré a pour discriminant $\Delta=0$ . Combien de racines réelles possède-t-elle et quelle est leur expression ?

10. Pour l’équation $-x^2+4x+5=0$ , quelle factorisation et quelles racines sont correctes ?

11. Quelle est la forme canonique de $3x^2+12x+2$ obtenue par complétion du carré ?

12. Pour une équation du second degré dont le discriminant vaut $25$ , quelle propriété est vraie ?

13. Un polynôme du second degré ayant pour racines $u$ et $v$ , avec $s=u+v$ et $p=uv$ , s’écrit sous quelle forme ?

14. Pour un polynôme $P(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelles relations donnent leur somme et leur produit ?

15. Quel type d’extrémum possède la parabole associée à un polynôme du second degré dont le coefficient de $x^2$ est négatif ?

16. Quelle forme factorisée convient à un polynôme du second degré dont les racines sont $u$ et $v$ ?