Fiche de révision : Équations et fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire du second degré
2. Résolution par factorisation
3. Discriminant et racines
4. Somme et produit des racines
5. Signe du trinôme
6. Application au nombre d’or

📖 1. Vocabulaire du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du second degré : Équation qui peut se ramener à la forme $ax^2+bx+c=0$, où a, b et c sont des réels fixes et $a\ne0$.
• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ et a, b et c réels fixes.

📝 Points essentiels

• L’équation $x(x-1)=6$ se ramène à $x^2-x-6=0$, avec $a=1$, $b=-1$ et $c=-6$.

📖 2. Résolution par factorisation

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation factorisée, on applique la règle du produit nul : si un produit est nul, alors au moins l’un de ses facteurs est nul.

• Une équation du second degré peut être factorisée grâce à un facteur commun, une identité remarquable ou une mise en produit adaptée.

Compléments

• L’équation $2x^2+11x-6=0$ s’écrit $(2x-1)(x+6)=0$ et possède les solutions $x=0{,}5$ et $x=-6$.

💡 Astuce mémo

Factoriser → produit nul → solutions

📖 3. Discriminant et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines de l’équation : Solutions $x_1$ et $x_2$ d’une équation du second degré.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une équation $ax^2+bx+c=0$ avec $a\ne0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta<0$, l’équation n’a aucune solution réelle ; si $\Delta=0$, elle possède une solution $x=\frac{-b}{2a}$ ; si $\Delta>0$, elle possède deux solutions $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

• Pour $x^2-x-6=0$, le discriminant vaut $\Delta=25>0$ et les deux racines sont $x_1=-2$ et $x_2=3$.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune racine ; Δ=0 : une racine ; Δ>0 : deux racines

📖 4. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Lorsque $\Delta>0$, la somme des deux racines vérifie $x_1+x_2=\frac{-b}{a}$ et leur produit vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

📌 Si le produit de deux racines est positif, elles sont de même signe ; si leur somme est négative, elles sont toutes deux négatives.

Compléments

• Pour $x^2+8x+7=0$, on obtient $\Delta=36>0$, une somme des racines égale à $-8$ et un produit égal à $7$.

💡 Astuce mémo

S = -b/a, P = c/a

📖 5. Signe du trinôme

📝 Points essentiels

📐 Formule - Lorsque $\Delta>0$, le trinôme se factorise sous la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

• Si $\Delta>0$ et $a<0$, alors $f(x)>0$ entre les deux racines et $f(x)\le0$ à l’extérieur de l’intervalle délimité par ces racines.

• Lorsque $\Delta=0$, le trinôme s’écrit $f(x)=a(x-x_1)^2$ et il est du signe de a sur ℝ.

• Lorsque $\Delta<0$, le trinôme n’a aucune racine et reste de signe constant, égal au signe de a.

💡 Astuce mémo

Le signe de Δ détermine le nombre de racines, puis le signe du trinôme

📖 6. Application au nombre d’or

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre d’or φ vérifie $\varphi^2=\varphi+1$, soit $\varphi^2-\varphi-1=0$.

• Le nombre d’or est la valeur positive $\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1{,}62$, arrondie au centième.

Compléments

• La résolution de $\varphi^2-\varphi-1=0$ donne les racines $\frac{1-\sqrt5}{2}\approx-0{,}62$ et $\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1{,}62$.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et signe du trinôme