Fiche de révision : Équations et fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme développée et racines
2. Factorisation par les racines
3. Somme et produit des racines
4. Signe sous forme factorisée
5. Détermination et factorisation pratique

📖 1. Forme développée et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et a ≠ 0.
• Racine : Un nombre réel x₁ tel que f(x₁)=0, c’est-à-dire une solution de l’équation f(x)=0.

📝 Points essentiels

• Pour rechercher une racine simple, on calcule f(k) pour k égal à −2, −1, 0 lorsque c=0, 1 ou 2.

• Pour f(x)=(2x+1)(−x+1), les racines sont −1/2 et 1, car un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est nul.

📖 2. Factorisation par les racines

★ À maîtriser

📌 Si x₁ est une racine de $f(x)=ax^2+bx+c$, alors f se factorise sous la forme $f(x)=(x-x_1)(ax+d)$ avec d réel.

• Une fonction polynôme du second degré admet au plus deux racines.

📌 Si f admet x₁ et x₂ comme racines, alors sa forme factorisée est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

📐 Formule — Lorsque c≠0, la factorisation vérifie la relation $-x_1d=c$.

• La fonction $f(x)=3x^2-9x+6$ a pour racines 1 et 2 et se factorise en $f(x)=3(x-1)(x-2)$.

💡 Astuce mémo

Racine trouvée → facteur x − x₁

📖 3. Somme et produit des racines

★ À maîtriser

📐 Formule — Si f admet les racines x₁ et x₂, leur somme vaut $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.

📐 Formule — Si f admet les racines x₁ et x₂, leur produit vaut $P=x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

📌 Le produit des racines est négatif si et seulement si a et c sont de signes contraires, car $P<0\Leftrightarrow\frac{c}{a}<0$.

• Une fonction ayant deux racines opposées, un produit égal à −4 et passant par A(0;2) est $f(x)=-\frac12x^2+2$.

💡 Astuce mémo

S = −b/a, P = c/a

📖 4. Signe sous forme factorisée

★ À maîtriser

• Pour étudier le signe d’une fonction polynôme du second degré factorisée, on ordonne ses racines x₁<x₂, puis on étudie le signe de chaque facteur avant de multiplier les signes.

📌 Pour $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec x₁<x₂, le signe de f est celui de a sur ]−∞,x₁[ et ]x₂,+∞[, et il est l’opposé de celui de a sur ]x₁,x₂[.

Compléments

• Pour $f(x)=-3(x-1)(x+2)$, f est négative sur ]−∞,−2[, positive sur ]−2,1[, puis négative sur ]1,+∞[.

💡 Astuce mémo

−∞ → x₁ → x₂ → +∞

📖 5. Détermination et factorisation pratique

📝 Points essentiels

• Pour factoriser une fonction polynôme du second degré, on peut rechercher une racine évidente, utiliser la somme et le produit des racines, ou appliquer une identité remarquable.

💡 Astuce mémo

Racine évidente → somme-produit → identité remarquable

📊 Tableaux de synthèse

Somme et produit des racines