QCM : Équations et fonctions du second degré — 11 questions

Question 1

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

f(x)=\frac{5}{x}+2

f(x)=2x^3+x-1

f(x)=3x^2-5x+1

f(x)=4x-7

Explication

Une fonction du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ , comme dans la première expression. Une fonction affine ne comporte pas de terme en $x^2$ , tandis que les deux autres expressions ne sont pas du second degré.

Answer

$$f(x)=3x^2-5x+1$$

Question 2

2. Que signifie qu’un nombre réel $x_1$ est une racine d’une fonction polynôme $f$ ?

Il représente l’ordonnée à l’origine de la courbe.

Il annule le coefficient de

x^2

.

Il vérifie

f(x_1)=0

.

Il vérifie

f(x_1)=1

.

Explication

Une racine est un nombre réel qui satisfait l’équation $f(x)=0$ , donc qui vérifie $f(x_1)=0$ . L’ordonnée à l’origine correspond à $f(0)$ et ne définit pas une racine en général.

Answer

Il vérifie $$f(x_1)=0$$.

Question 3

3. Si $x_1$ est une racine de $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle forme de factorisation peut-on utiliser ?

f(x)=(x+x_1)(ax+d)

f(x)=(x-x_1)(ax+d)

f(x)=x_1(ax+d)

f(x)=(x-x_1)(a+d)

Explication

La présence de la racine $x_1$ implique que le facteur associé est $x-x_1$ , d’où la forme $f(x)=(x-x_1)(ax+d)$ . Le nombre $x_1$ lui-même n’est pas le facteur obtenu par cette propriété.

Answer

$$f(x)=(x-x_1)(ax+d)$$

Question 4

4. Combien de racines réelles au maximum une fonction polynôme du second degré peut-elle admettre ?

Une

Deux

Une infinité

Trois

Explication

Un polynôme du second degré admet au plus deux racines réelles. Trois racines distinctes imposeraient un degré supérieur, tandis qu’une seule racine correspond à un cas particulier possible mais non à la limite générale.

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Answer

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$

Answer

$$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Answer

Ordonner les racines, étudier le signe de chaque facteur, puis multiplier les signes

Answer

Il est opposé à celui de $$a$$

Answer

Rechercher une racine évidente, exploiter la somme et le produit des racines, ou utiliser une identité remarquable

Answer

Utiliser cette racine évidente pour faire apparaître un facteur linéaire

Question 5

5. Une fonction du second degré admet les racines $x_1$ et $x_2$ . Quelle est sa forme factorisée ?

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

f(x)=(x-x_1)(x-x_2)

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

f(x)=a(x_1+x_2)x^2

Explication

Deux racines donnent les facteurs $x-x_1$ et $x-x_2$ , tandis que le coefficient directeur $a$ est conservé devant le produit. Les signes positifs inverseraient les racines, et supprimer $a$ modifierait le coefficient de $x^2$ .

Question 6

6. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelle expression donne leur somme ?

x_1+x_2=-\frac{c}{a}

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

x_1+x_2=\frac{c}{a}

x_1+x_2=\frac{b}{a}

Explication

La somme des racines est donnée par $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ . L’expression $\frac{c}{a}$ correspond au produit des racines et non à leur somme.

Question 7

7. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelle expression donne leur produit ?

x_1x_2=-\frac{c}{a}

x_1x_2=-\frac{b}{a}

x_1x_2=\frac{c}{a}

x_1x_2=\frac{b}{a}

Explication

Le produit des racines vérifie $P=x_1x_2=\frac{c}{a}$ . La quantité $-\frac{b}{a}$ représente leur somme, ce qui constitue la confusion la plus fréquente entre les deux relations.

Question 8

8. Pour étudier le signe de $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1<x_2$ , quelle démarche faut-il suivre en premier ?

Calculer le discriminant, repérer le sommet, puis comparer les images

Remplacer successivement les racines par leurs valeurs dans l’expression développée

Ordonner les racines, étudier le signe de chaque facteur, puis multiplier les signes

Développer l’expression, calculer sa dérivée, puis étudier les variations

Explication

L’étude du signe sous forme factorisée repose sur l’ordre des racines et sur le tableau de signes de chaque facteur avant la multiplication des signes. Le discriminant ou la dérivée peuvent intervenir dans d’autres études, mais ne constituent pas ici la démarche directe.

Question 9

9. Soit $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1<x_2$ . Quel est le signe de $f$ sur l’intervalle $]x_1,x_2[$ ?

Il est identique à celui de

a

Il est opposé à celui de

a

Il dépend du signe du seul premier facteur

Il est nul sur tout l’intervalle considéré

Explication

Entre les deux racines, les deux facteurs ont des signes opposés, leur produit est donc négatif et le signe de la fonction est opposé à celui de $a$ . Le signe de $a$ est retrouvé à l’extérieur des racines, pas entre elles.

Question 10

10. Quelle méthode peut être utilisée pour factoriser une fonction polynôme du second degré ?

Rechercher une racine évidente, exploiter la somme et le produit des racines, ou utiliser une identité remarquable

Comparer les coefficients, construire un tableau de valeurs, puis choisir la forme la plus régulière

Calculer la dérivée, résoudre son équation, puis intégrer les expressions obtenues

Étudier les variations, déterminer le sommet, puis tracer la parabole correspondante

Explication

La factorisation peut s’appuyer sur une racine évidente, sur les relations entre somme et produit des racines, ou sur une identité remarquable. L’étude des variations décrit la fonction, mais ne fournit pas directement ces méthodes de factorisation.

Question 11

11. Pour factoriser pratiquement un trinôme du second degré, quelle stratégie est pertinente lorsqu’une valeur simple annule le trinôme ?

Déduire les variations du trinôme puis conserver sa forme développée

Utiliser le sommet comme second facteur sans vérifier les coefficients

Remplacer cette valeur dans le terme constant pour supprimer le discriminant

Utiliser cette racine évidente pour faire apparaître un facteur linéaire

Explication

Lorsqu’une valeur simple annule le trinôme, elle constitue une racine évidente et permet d’identifier un facteur linéaire. Le sommet renseigne sur les variations, mais il ne devient pas automatiquement un facteur de l’expression.

QCM : Équations et fonctions du second degré — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

2. Que signifie qu’un nombre réel $x_1$ est une racine d’une fonction polynôme $f$ ?

3. Si $x_1$ est une racine de $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle forme de factorisation peut-on utiliser ?

4. Combien de racines réelles au maximum une fonction polynôme du second degré peut-elle admettre ?

5. Une fonction du second degré admet les racines $x_1$ et $x_2$ . Quelle est sa forme factorisée ?

6. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelle expression donne leur somme ?

7. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelle expression donne leur produit ?

8. Pour étudier le signe de $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1<x_2$ , quelle démarche faut-il suivre en premier ?

9. Soit $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1<x_2$ . Quel est le signe de $f$ sur l’intervalle $]x_1,x_2[$ ?

10. Quelle méthode peut être utilisée pour factoriser une fonction polynôme du second degré ?

11. Pour factoriser pratiquement un trinôme du second degré, quelle stratégie est pertinente lorsqu’une valeur simple annule le trinôme ?

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QCM : Équations et fonctions du second degré — 11 questions

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur R\mathbb{R}R ?

2. Que signifie qu’un nombre réel x1x_1x1​ est une racine d’une fonction polynôme fff ?

3. Si x1x_1x1​ est une racine de f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c, quelle forme de factorisation peut-on utiliser ?

4. Combien de racines réelles au maximum une fonction polynôme du second degré peut-elle admettre ?

5. Une fonction du second degré admet les racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​. Quelle est sa forme factorisée ?

6. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ayant deux racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​, quelle expression donne leur somme ?

7. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c ayant deux racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​, quelle expression donne leur produit ?

8. Pour étudier le signe de f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)f(x)=a(x−x1​)(x−x2​) avec x1<x2x_1<x_2x1​<x2​, quelle démarche faut-il suivre en premier ?

9. Soit f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)f(x)=a(x−x1​)(x−x2​) avec x1<x2x_1<x_2x1​<x2​. Quel est le signe de fff sur l’intervalle ]x1,x2[]x_1,x_2[]x1​,x2​[ ?

10. Quelle méthode peut être utilisée pour factoriser une fonction polynôme du second degré ?

11. Pour factoriser pratiquement un trinôme du second degré, quelle stratégie est pertinente lorsqu’une valeur simple annule le trinôme ?

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1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

2. Que signifie qu’un nombre réel $x_1$ est une racine d’une fonction polynôme $f$ ?

3. Si $x_1$ est une racine de $f(x)=ax^2+bx+c$ , quelle forme de factorisation peut-on utiliser ?

5. Une fonction du second degré admet les racines $x_1$ et $x_2$ . Quelle est sa forme factorisée ?

6. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelle expression donne leur somme ?

7. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$ ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelle expression donne leur produit ?

8. Pour étudier le signe de $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1<x_2$ , quelle démarche faut-il suivre en premier ?

9. Soit $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1<x_2$ . Quel est le signe de $f$ sur l’intervalle $]x_1,x_2[$ ?