Équations et fonctions du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme développée et racines
2. Factorisation par les racines
3. Somme et produit des racines
4. Signe sous forme factorisée
5. Détermination et factorisation pratique

📖 1. Forme développée et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et a ≠ 0.
• Racine : Un nombre réel x₁ tel que f(x₁)=0, c’est-à-dire une solution de l’équation f(x)=0.

📝 Points essentiels

• Pour rechercher une racine simple, on calcule f(k) pour k égal à −2, −1, 0 lorsque c=0, 1 ou 2.

• Pour f(x)=(2x+1)(−x+1), les racines sont −1/2 et 1, car un produit est nul lorsque l’un de ses facteurs est nul.

📖 2. Factorisation par les racines

★ À maîtriser

📌 Si x₁ est une racine de $f(x)=ax^2+bx+c$, alors f se factorise sous la forme $f(x)=(x-x_1)(ax+d)$ avec d réel.

• Une fonction polynôme du second degré admet au plus deux racines.

📌 Si f admet x₁ et x₂ comme racines, alors sa forme factorisée est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

📐 Formule — Lorsque c≠0, la factorisation vérifie la relation $-x_1d=c$.

• La fonction $f(x)=3x^2-9x+6$ a pour racines 1 et 2 et se factorise en $f(x)=3(x-1)(x-2)$.

💡 Astuce mémo